liczba niewymierna - dowód

[klimat]

Wykaż że \(\displaystyle{ \ln3+ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną.

[Janusz Tracz]

• Z twierdzenia Lindemanna–Weierstrassa wynika, że \(\displaystyle{ \ln 3}\) jest liczbą przestępną.

Załóżmy, że nie. To znaczy, że \(\displaystyle{ \ln 3}\) jest algebraiczny. Zatem z twierdzenia Lindemanna–Weierstrassa mamy, że \(\displaystyle{ e^{\ln 3}=3}\) jest liczbą przestępną. Sprzeczność bo \(\displaystyle{ 3}\) nie jest liczbą przestępną.

• Suma liczby przestępnej z algebraiczną jest przestępna.

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie przestępna oraz \(\displaystyle{ q}\) algebraiczna ponad to załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \alpha +q}\) też jest algebraiczna. Tylko, że suma i różnica liczb algebraicznych jest algebraiczna więc \(\displaystyle{ \alpha +q -q}\) jest algebraiczna. A to sprzeczność bo \(\displaystyle{ \alpha }\) nie jest algebraiczna.

PS może da się to zrobić standardowo. Ale to mi przyszło do głowy jako pierwsze.