Średnie w iteracjach

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ T(x)= T(x_1,...,x_n)=( \frac{x_1+x_2}{2} , ...., \frac{x_j+x_{j+1}}{2},...,\frac{x_n+x_1}{2} ) }\);
Czy istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że wszystkie skłądniki wszystkich elementów ciągu
\(\displaystyle{ x, T(x), T(T(x)),...}\) są liczbami całkowitymi ; o ile wszystkie składniki \(\displaystyle{ x}\) są różne ?

[a4karo]

W ostatnim wyrazie pewnie miało być `(x_n+x_1)/2`?

[mol_ksiazkowy]

oczywiscie

[a4karo]

`x=(0, 2)`

[mol_ksiazkowy]

a jeśli \(\displaystyle{ n>2}\) ?

[a4karo]

Przypuśćmy, że istnieje ciąg `x=(x_1,...,x_n)` spełniający warunki zadania. Oznaczmy \(\displaystyle{ \mathrm{diam}(x)=\max(x)-\min(x)}\)
Mamy
\(\displaystyle{ (*)\quad \mathrm{diam}(T(x))\leq \mathrm{diam}(x)}\),
przy czym równość zajdzie, gdy sa dwa iksy obok siebie, które realizują maksimum i dwa takie, które realizują minimum. Co więcej, ilość takich par w `T(x)` jest mniejsza niż w `x`, co oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ \mathrm{diam}(T^n(x))}\) na granicę równą zero. Innymi słowy, od pewnego miejsca ciąg `T^n(x)` jest ciagiem stały, i `x=(a,a,a,..)` dla pewnego `a\in\ZZ`.

Nietrywialnym przodkiem takiego ciągu może być jedynie ciąg postaci `(a+t,a-t,a+t,a-t,...)`, `t\ne 0`, co oznacza, że `n` musi być parzyste. Jeżeli `n=2`, to ciąg `(0,2)` spełnia warunki zadania. Jeżeli `n\ge 4`, to ciąg `(a+t,a-t,a+t,a-t,...)` nie spełnia warunku, że wszystkie wyrazy mają być różne. No ale może jego przodek ma różne wyrazy?
Nie, bo ten ciąg nie ma przodka. Gdyby bowiem
\(\displaystyle{ y_1+y_2=2(a+t)\\
y_2+y_3=2(a-t)\\
y_3+y_4=2(a+t)\\
\vdots\\
y_n+y_1=2(a-t)}\)
to dodając parzyste równania dostaniemy `y_1+...+y_n=n(a-t)`, a dodając nieparzyste `y_1+...+y_n=n(a+t)` - sprzeczność.

Zatem rozwiązania istnieja tylko dla `n=2` i rozwiązaniem jest każda para liczb o tej samej parzystości.