Ukryta treść:
Następny dzielnik
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Następny dzielnik
Liczba \(\displaystyle{ n}\) ma tę własność, że jeśli jest podzielna przez \(\displaystyle{ d}\), to \(\displaystyle{ n+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ d+1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Następny dzielnik
Przypuśćmy, że `n=pq`, gdzie `p,q\ne 1`.
Jeżeli `p=q`, to `p+1|n+1=p^2+1`, a to jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ \frac{p^2+1}{p+1}=\frac{p^2+2p+1-2p-2+2}{p+1}=p-1+\frac{2}{p+1}}\)
Możemy przyjąć zatem, że `p<q`. Wtedy dla pewnego naturalnego `k` zachodzi `n+1=(q+1)k`.
Jeżeli `k\le p-1`, to `n+1=(q+1)k\le (q+1)(p-1)=pq+p-q+1<pq+1=n+1`
Jeżeli zaś `k\ge p`, to `n+1=(q+1)k\ge (q+1)p=qp+p>qp+1>n+1`
Zatem żaden z tych warunków nie może zachodzić. CBDO
Jeżeli `p=q`, to `p+1|n+1=p^2+1`, a to jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ \frac{p^2+1}{p+1}=\frac{p^2+2p+1-2p-2+2}{p+1}=p-1+\frac{2}{p+1}}\)
Możemy przyjąć zatem, że `p<q`. Wtedy dla pewnego naturalnego `k` zachodzi `n+1=(q+1)k`.
Jeżeli `k\le p-1`, to `n+1=(q+1)k\le (q+1)(p-1)=pq+p-q+1<pq+1=n+1`
Jeżeli zaś `k\ge p`, to `n+1=(q+1)k\ge (q+1)p=qp+p>qp+1>n+1`
Zatem żaden z tych warunków nie może zachodzić. CBDO