Proste dzielenie

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) (liczby całkowite) \(\displaystyle{ \frac{a^2b}{a+b} }\) jest liczbą pierwszą ?

[kerajs]

Zakładam, że istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) taka że \(\displaystyle{ \frac{a^2b}{a+b} =p }\) więc \(\displaystyle{ b= \frac{ap}{a^2-p} }\)

1. zał: \(\displaystyle{ a^2-p=1}\)
Przy powyższym założeniu \(\displaystyle{ p=(a-1)(a+1)}\). Aby p była liczbą pierwszą to wartość bezwzględna jednego z czynników musi wynosić \(\displaystyle{ 1}\). Z czterech możliwości dwa dają pozytywne wyniki:
\(\displaystyle{ a=2 \ \ \Rightarrow \ \ p=3 \ \ \Rightarrow \ \ b=6 \\
a=-2 \ \ \Rightarrow \ \ p=3 \ \ \Rightarrow \ \ b=-6}\)

2. zał: \(\displaystyle{ a^2-p=-1}\)
Przy powyższym założeniu \(\displaystyle{ p=a^2+1 \ \ \wedge \ \ b=-a(a^2+1)}\).
Takich liczb jest nieskończenie wiele. Przykładowe:
\(\displaystyle{ a= \pm 1 \ \ \Rightarrow \ \ p=2 \ \ \Rightarrow \ \ b= \mp 2 \\
a= \pm 2 \ \ \Rightarrow \ \ p=5 \ \ \Rightarrow \ \ b= \mp 10 \\
a= \pm 4 \ \ \Rightarrow \ \ p=17 \ \ \Rightarrow \ \ b= \mp 68 \\
a= \pm 6 \ \ \Rightarrow \ \ p=37 \ \ \Rightarrow \ \ b= \mp 222 \\
a= \pm 10 \ \ \Rightarrow \ \ p=101 \ \ \Rightarrow \ \ b= \mp 1010 \\
...}\)

3. zał: \(\displaystyle{ a^2-p=\ZZ \setminus \left\{ -1,0,1\right\} }\)
Tu jedyną szansą na skrócenie ułamka jest podzielność \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ p}\), czyli \(\displaystyle{ a=kp}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}}\), a wtedy \(\displaystyle{ b= \frac{kp}{k^2p-1} }\)
a) dla \(\displaystyle{ k=1}\) mam \(\displaystyle{ b= \frac{p}{p-1}}\) co daje jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a=2 \ \ \Rightarrow \ \ p=2 \ \ \Rightarrow \ \ b=2 }\)
b) dla \(\displaystyle{ k=-1}\) mam \(\displaystyle{ b= \frac{-p}{p-1}}\) co daje jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a=-2 \ \ \Rightarrow \ \ p=2 \ \ \Rightarrow \ \ b=-2 }\)
c) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ \setminus \left\{ -1,0,1\right\}}\) liczba \(\displaystyle{ b= \frac{kp}{k^2p-1}}\) nie jest całkowitą, czyli brak kolejnych rozwiązań.