Problem z liczbami a i p

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Problem z liczbami a i p

Post autor: mol_ksiazkowy »

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą i istnieje \(\displaystyle{ a}\) takie, że \(\displaystyle{ a^2 \equiv -2 \pmod{p}}\). Udowodnić, że choć jedno z równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+2y^2=p \\ x^2+2y^2=2p \end{cases}}\)
ma rozwiązanie (w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x, y}\)).
Ostatnio zmieniony 28 maja 2022, o 19:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Problem z liczbami a i p

Post autor: arek1357 »

żeby takie a istniało, to musi zachodzić albo:

\(\displaystyle{ p=2, a=0}\)

I wtedy np:

\(\displaystyle{ x=0, y=1}\)

Dla \(\displaystyle{ p>2}\)

chcąc aby:

\(\displaystyle{ a^2=-2 (\mod p)}\)

musi być \(\displaystyle{ -2}\) resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p}\)

Co znaczy:

\(\displaystyle{ \left( \frac{-2}{p} \right) =\left( \frac{2}{p} \right) \cdot \left( \frac{-1}{p} \right) =\left( -1\right)^{ \frac{(p+1)(p-1)}{8} } \cdot \left( -1\right)^{ \frac{p-1}{2} }}\)

Wynik ten powinien wyjść jeden żeby \(\displaystyle{ -2}\) była reszta kwadratową inaczej będzie nieresztą

Co po niezbyt głębokiej analizie pozwoli zauważyć, że:

\(\displaystyle{ p=8k+1 \vee p=8k+3}\)

Dla tego typu liczb pierwszych równanie:

\(\displaystyle{ x^2+2y^2=p}\)

ma rozwiązanie...

Ponieważ:

\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{y} \right)^2=-2 (\mod p) }\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=a ( \mod p) }\)

Jeżeli mam rozwiązanie (1)

\(\displaystyle{ (x,y)}\)

To rozwiązaniem:

\(\displaystyle{ x^2+2y^2=2p}\)

Będzie:

\(\displaystyle{ (2y,x)}\)
ODPOWIEDZ