względność pierwsza

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
MarekP119
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 mar 2021, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
wiek: 17

względność pierwsza

Post autor: MarekP119 »

jak z tego że \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ bc+1}\) i \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ ac+1}\) i \(\displaystyle{ c}\) dzieli \(\displaystyle{ ab+1}\) wywnioskować że \(\displaystyle{ a, b, c}\) są względnie pierwsze?
Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 15 maja 2022, o 18:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: względność pierwsza

Post autor: Premislav »

Przypuśćmy nie wprost, że istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), która dzieli zarówno \(\displaystyle{ a, \ b}\), jak i \(\displaystyle{ c}\).
Wówczas \(\displaystyle{ p}\) (a nawet \(\displaystyle{ p^3}\), ale to nie jest nam potrzebne) dzieli liczbę \(\displaystyle{ (bc+1)(ac+1)(ab+1)=(abc)^2+abc(a+b+c)+ab+bc+ca+1}\). Jednakże łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ p}\) (a nawet \(\displaystyle{ p^2}\), ale to znowuż niepotrzebne) dzieli liczbę \(\displaystyle{ (abc)^2+abc(a+b+c)+ab+bc+ca}\), a przecież dla każdego \(\displaystyle{ x\in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ \NWD(x,x+1)=1}\), innymi słowy żadna liczba pierwsza nie może dzielić jednocześnie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x+1}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
ODPOWIEDZ