Ciąg liczb pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Ciąg liczb pierwszych

Post autor: mol_ksiazkowy »

Niech \(\displaystyle{ a_1,...,a_p}\) będzie rosnącym ciągiem arytmetycznym liczb pierwszych, oraz \(\displaystyle{ a_1>p}\); gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Udowodnić, że różnica tego ciągu \(\displaystyle{ r}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p.}\)
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 6 maja 2022, o 11:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Ciąg liczb pierwszych

Post autor: Premislav »

Liczb \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_p}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ p}\) i skoro są one pierwsze oraz większe niż \(\displaystyle{ p}\), to żadna z nich nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\). Niezerowych reszt modulo \(\displaystyle{ p}\) mamy jedynie \(\displaystyle{ p-1}\), więc z Dirichleta pewne dwie liczby z tego ciągu arytmetycznego przystają modulo \(\displaystyle{ p}\), czyli innymi słowy ich różnica dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\), tj. dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \NN^{+}, \ k<p}\) mamy \(\displaystyle{ p|kr}\), skoro jednak \(\displaystyle{ p\in \PP}\), to stąd \(\displaystyle{ (k,p)=1}\), tj. \(\displaystyle{ p|r}\), c.n.d.
ODPOWIEDZ