Ukryta treść:
Ciąg liczb pierwszych
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11263
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3140 razy
- Pomógł: 746 razy
Ciąg liczb pierwszych
Niech \(\displaystyle{ a_1,...,a_p}\) będzie rosnącym ciągiem arytmetycznym liczb pierwszych, oraz \(\displaystyle{ a_1>p}\); gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Udowodnić, że różnica tego ciągu \(\displaystyle{ r}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p.}\)
Ostatnio zmieniony 6 maja 2022, o 11:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Ciąg liczb pierwszych
Liczb \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_p}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ p}\) i skoro są one pierwsze oraz większe niż \(\displaystyle{ p}\), to żadna z nich nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\). Niezerowych reszt modulo \(\displaystyle{ p}\) mamy jedynie \(\displaystyle{ p-1}\), więc z Dirichleta pewne dwie liczby z tego ciągu arytmetycznego przystają modulo \(\displaystyle{ p}\), czyli innymi słowy ich różnica dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\), tj. dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \NN^{+}, \ k<p}\) mamy \(\displaystyle{ p|kr}\), skoro jednak \(\displaystyle{ p\in \PP}\), to stąd \(\displaystyle{ (k,p)=1}\), tj. \(\displaystyle{ p|r}\), c.n.d.