Bezkwadratowe składniki

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n>1}\) jest liczbą naturalną, to istnieją liczby bezkwadratowe \(\displaystyle{ x, y}\) takie, że \(\displaystyle{ n=x+y.}\)

[arek1357]

Grubo ponad \(\displaystyle{ 50}\) procent liczb jest bezkwadratowych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n-1}\) dla liczby \(\displaystyle{ n}\)

Więc jeżeli weźmiemy wszystkie bezkwadratowe liczby

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,5,6,7,10,...\right\} }\)

I potworzymy różnice:

\(\displaystyle{ n-b_{1}}\)

\(\displaystyle{ n-b_{2}}\)

\(\displaystyle{ n-b_{3}}\)

............................

To tych różnic jest więcej niż liczb z kwadratami, a każda różnica jest inna, więc któraś różnica w wyniku da liczbę bezkwadratową, czyli:

\(\displaystyle{ n-b_{i}=b_{j} }\)

Czyli:

\(\displaystyle{ b_{i}+b_{j}=n}\)