Iloczyn równy 1

[mol_ksiazkowy]

Czy można w niektórych z \(\displaystyle{ n-1}\) ułamków \(\displaystyle{ \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, ..., \frac{n}{n-1} }\) zamienić ze sobą licznik z mianownikiem, aby iloczyn tych ułamków był równy \(\displaystyle{ 1}\) ?

[a4karo]

\(\displaystyle{ \red{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}\frac{4}{3}=1}\)

[kerajs]

Pomijając liczbę \(\displaystyle{ n}\), to pozostałe liczby (tworzące liczniki i mianowniki) mają wspólnie parzyste ilości każdego czynnika pierwszego mniejszego od n. Aby obracanie ułamków miało szansę dać jeden, to \(\displaystyle{ n}\) musi w rozkładzie na czynniki pierwsze zawierać parzyste ich ilości, czyli być kwadratem.

do przykładu \(\displaystyle{ n=2^2}\) :

\(\displaystyle{ \red{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}\frac{4}{3}=1}\)

dodam
\(\displaystyle{ \red{\frac{1}{2} \frac{2}{3} }\frac{4}{3} \frac{5}{4} \cdot ... \cdot \frac{9}{8} =1}\)

\(\displaystyle{ \red{\frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4}} \frac{5}{4} \cdot ... \cdot \frac{16}{15} =1}\)

\(\displaystyle{ \red{\frac{1}{2} \cdot ... \cdot \frac{k-1}{k} } \frac{k+1}{k} \cdot ... \cdot \frac{k^2-1}{k^2-2} \frac{k^2}{k^2-1} =1}\)
Jak widać dla każdego kwadratowego \(\displaystyle{ n}\) obroty niektórych ułamków dadzą iloczyn równy \(\displaystyle{ 1}\).

PS
Inną sprawą jest, na ile sposobów tę jedynkę można uzyskać.
Kilka przykładów (poprawne będą także ich odwrotności) dla \(\displaystyle{ n=25}\)
\(\displaystyle{ \red{\frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4}\frac{4}{5} } \frac{6}{5} \cdot ... \cdot \frac{25}{24} =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{1} \red{\frac{2}{3} \cdot ... \cdot \frac{9}{10} } \frac{11}{10} \cdot ... \cdot \frac{25}{24} =1}\)
\(\displaystyle{ \red{\frac{1}{2} \frac{2}{3} } \black{\frac{4}{3} \frac{5}{4} \frac{6}{5}} \red{ \frac{6}{7} \cdot ... \cdot \frac{9}{10} } \frac{11}{10} \cdot ... \cdot \frac{25}{24} =1}\)