Dzielnik a nierówność

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie największym dzielnikiem nieparzystym \(\displaystyle{ n}\) i niech \(\displaystyle{ b_n = a_1+...+a_n}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ 3b_n \geq n^2+2}\).
Kiedy jest równość ?

[Math_Logic]

\(\displaystyle{ n = 16}\)
\(\displaystyle{ b_n = 1}\)

\(\displaystyle{ 3 < 16^2 + 2}\)

Czym są wyrazy \(\displaystyle{ a_1, ..., a_{n-1}?}\) Może się czepiam, ale proszę o doprecyzowanie treści zadania, bo nie jest (dla mnie) do końca jasne.

[mol_ksiazkowy]

chyba \(\displaystyle{ a_{16}=1}\) ale \(\displaystyle{ b_{16}>1}\)

[Dasio11]

Czym są wyrazy \(\displaystyle{ a_1, ..., a_{n-1}?}\) Może się czepiam, ale proszę o doprecyzowanie treści zadania, bo nie jest (dla mnie) do końca jasne.

\(\displaystyle{ a_n}\) to największy dzielnik nieparzysty liczby \(\displaystyle{ n}\) - w domyśle dla wszystkich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) - a więc:

\(\displaystyle{ a_1}\) - największy dzielnik nieparzysty liczby \(\displaystyle{ 1}\);
\(\displaystyle{ a_2}\) - największy dzielnik nieparzysty liczby \(\displaystyle{ 2}\);
...
\(\displaystyle{ a_n}\) - największy dzielnik nieparzysty liczby \(\displaystyle{ n}\);
\(\displaystyle{ a_{n+1}}\) - największy dzielnik nieparzysty liczby \(\displaystyle{ n+1}\);
\(\displaystyle{ a_{n^2}}\) - największy dzielnik nieparzysty liczby \(\displaystyle{ n^2}\);

itd.

[arek1357]

Warto w tym zadaniu zauważyć, że:

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{r}, n=r2^s}\) czynnik nieparzysty

pokaże na przykładzie dla \(\displaystyle{ n=10}\)

Jak to idzie:

\(\displaystyle{ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}\)

Wybieramy teraz liczby nieparzyste:

\(\displaystyle{ 1+3+5+7+9}\)

zostały:

\(\displaystyle{ 2+4+6+8+10}\)

Każdą dzielimy przez dwa i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 1+3+5}\)

zostaje:

\(\displaystyle{ 2+4}\)

dzielimy przez dwa, zostawiamy nieparzystą a parzystą dzielimy jeszcze raz:

będzie:

\(\displaystyle{ 1}\)

potem:

\(\displaystyle{ 1}\)

Czyli otrzymamy taki zestawik dla: \(\displaystyle{ n=10}\)

\(\displaystyle{ 1+3+5+7+9=5^2}\)

\(\displaystyle{ 1+3+5=3^2}\)

\(\displaystyle{ 1=1^2}\)

\(\displaystyle{ 1=1}\)

jest to swoista rekurencja...

łącznie wszystko zsumujemy i otrzymamy:

\(\displaystyle{ d_{10}=1+3+5+7+9+1+3+5+1+1=36}\)

I tak mnie nasunęło, że każda suma niższa jest plus minus połową wyższej...

Więc z obserwacji można zapisać, że dla: \(\displaystyle{ n \neq 2^s}\)

\(\displaystyle{ d_{n} \ge 1+ \sum_{i=1}^{ \infty } \left( \frac{n}{2^i} \right)^2=1+n^2 \sum_{i=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{2^i} \right)^2=1+ \frac{n^2}{3} }\)

Czyli:

\(\displaystyle{ 3d_{n} \ge 3+n^2 \ge n^2+2}\)

Co jest prawdą, ale taka nierówność nie będzie zachodzić dla:

\(\displaystyle{ n=2^s}\)

Ale tu łatwo zauważyć, że będzie równość

nieskończoność w sumie wystarczy zastąpić \(\displaystyle{ s}\)

i mamy:

\(\displaystyle{ b_{2^s}= 1+n^2 \sum_{i=1}^{s}\left( \frac{1}{2^i} \right)^2=1+ 2^{2s} \frac{1}{4} \frac{1- \frac{1}{2^{2s}} }{1- \frac{1}{4} } / \cdot 3}\)

\(\displaystyle{ 3b_{2^s}=3+2^{2s}-1=2^{2s}+2}\)

Więc dla:

\(\displaystyle{ n=2^s}\)

Zachodzi równość...