Ciąg jest zbieżny?
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Ciąg jest zbieżny?
Załóżmy ciąg liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_n}\).
Z wykorzystaniem ciągu liczb pierwszych przyjmijmy ciąg \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+ \frac{1-a_{n-1}}{p_n} }\)
Czy ciąg jest zbieżny do konkretnej wartości?
\(\displaystyle{ a_1=0,5}\)
Z wykorzystaniem ciągu liczb pierwszych przyjmijmy ciąg \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+ \frac{1-a_{n-1}}{p_n} }\)
Czy ciąg jest zbieżny do konkretnej wartości?
\(\displaystyle{ a_1=0,5}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Ciąg jest zbieżny?
Nie wiem jak Dasio11 to zrobił ale się wepcham ze swoją odpowiedzią. Widać, że ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\). A z tego co dość niestandardowe wynika, że jest rosnący. Zatem jest zbieżny. I fakt, że \(\displaystyle{ p}\) to ciąg liczb pierwszych nie ma tu znaczenia. Ważne jest to, że \(\displaystyle{ p_n\to \infty }\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Ciąg jest zbieżny?
Łatwa indukcja pokazuje, że ciąg jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\) i rosnący. Gdyby nie był zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\), to istniałby \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), taki że wszystkie wyrazy spełniałyby \(\displaystyle{ a_n \le 1-\varepsilon}\). Stąd \(\displaystyle{ a_k - a_{k-1} \ge \frac{\varepsilon}{p_k}}\), co po zsumowaniu dla \(\displaystyle{ k = 2, 3, \ldots, n}\) daje \(\displaystyle{ a_n \ge a_1 + \varepsilon \sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k}}\). Jednak wiadomo, że szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny do nieskończoności, co jest sprzeczne z ograniczonością \(\displaystyle{ a_n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Ciąg jest zbieżny?
Brzmi sensownie. Ale czy nie jest możliwa zbieżność do liczby niewyniernej ciut mniejszej od \(\displaystyle{ 1}\)
Przykładowo \(\displaystyle{ 0,99999999743....}\).?
Przykładowo \(\displaystyle{ 0,99999999743....}\).?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Ciąg jest zbieżny?
Można wręcz podać jawny wzór:
\(\displaystyle{ a_n = 1 - \frac{1}{2} \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)}\)
i stąd od razu widać, że ciąg zbiega do \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ a_n = 1 - \frac{1}{2} \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)}\)
i stąd od razu widać, że ciąg zbiega do \(\displaystyle{ 1}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Ciąg jest zbieżny?
Zignorujcie to zdanie.Janusz Tracz pisze: ↑14 kwie 2022, o 20:53 I fakt, że \(\displaystyle{ p}\) to ciąg liczb pierwszych nie ma tu znaczenia. Ważne jest to, że \(\displaystyle{ p_n\to \infty }\).
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Ciąg jest zbieżny?
Jawny wzór można przedstawić
\(\displaystyle{ a _{n}=1- \prod_{k=1}^{n}(1- \frac{1}{p _{k}} )}\)
Albo coś namieszałem albo wartości są odmienne.
Dzięki za pomoc dotychczas zakładałem, że do jedynki nie dociera.
\(\displaystyle{ a _{n}=1- \prod_{k=1}^{n}(1- \frac{1}{p _{k}} )}\)
Albo coś namieszałem albo wartości są odmienne.
Dzięki za pomoc dotychczas zakładałem, że do jedynki nie dociera.