Ciąg jest zbieżny?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Brombal »

Załóżmy ciąg liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_n}\).
Z wykorzystaniem ciągu liczb pierwszych przyjmijmy ciąg \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+ \frac{1-a_{n-1}}{p_n} }\)
Czy ciąg jest zbieżny do konkretnej wartości?
\(\displaystyle{ a_1=0,5}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Dasio11 »

Jest zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\).
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Brombal »

Jak do tego doszedłeś?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Janusz Tracz »

Nie wiem jak Dasio11 to zrobił ale się wepcham ze swoją odpowiedzią. Widać, że ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\). A z tego co dość niestandardowe wynika, że jest rosnący. Zatem jest zbieżny. I fakt, że \(\displaystyle{ p}\) to ciąg liczb pierwszych nie ma tu znaczenia. Ważne jest to, że \(\displaystyle{ p_n\to \infty }\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Dasio11 »

Łatwa indukcja pokazuje, że ciąg jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\) i rosnący. Gdyby nie był zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\), to istniałby \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), taki że wszystkie wyrazy spełniałyby \(\displaystyle{ a_n \le 1-\varepsilon}\). Stąd \(\displaystyle{ a_k - a_{k-1} \ge \frac{\varepsilon}{p_k}}\), co po zsumowaniu dla \(\displaystyle{ k = 2, 3, \ldots, n}\) daje \(\displaystyle{ a_n \ge a_1 + \varepsilon \sum_{k=2}^n \frac{1}{p_k}}\). Jednak wiadomo, że szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny do nieskończoności, co jest sprzeczne z ograniczonością \(\displaystyle{ a_n}\).
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Brombal »

Brzmi sensownie. Ale czy nie jest możliwa zbieżność do liczby niewyniernej ciut mniejszej od \(\displaystyle{ 1}\)
Przykładowo \(\displaystyle{ 0,99999999743....}\).?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: a4karo »

Nie, bo szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Dasio11 »

Można wręcz podać jawny wzór:

\(\displaystyle{ a_n = 1 - \frac{1}{2} \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)}\)

i stąd od razu widać, że ciąg zbiega do \(\displaystyle{ 1}\).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Janusz Tracz »

Janusz Tracz pisze: 14 kwie 2022, o 20:53 I fakt, że \(\displaystyle{ p}\) to ciąg liczb pierwszych nie ma tu znaczenia. Ważne jest to, że \(\displaystyle{ p_n\to \infty }\).
Zignorujcie to zdanie.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Ciąg jest zbieżny?

Post autor: Brombal »

Jawny wzór można przedstawić
\(\displaystyle{ a _{n}=1- \prod_{k=1}^{n}(1- \frac{1}{p _{k}} )}\)
Albo coś namieszałem albo wartości są odmienne.
Dzięki za pomoc dotychczas zakładałem, że do jedynki nie dociera.
ODPOWIEDZ