Przedostatnia cyfra

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że przedostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ 3^n}\) jest parzysta.

[Dasio11]

Ukryta treść:    

Wystarczy łatwy dowód indukcyjny, że każda potęga trójki jest postaci \(\displaystyle{ 20k + r}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k \in \NN, r \in \{ 1, 3, 7, 9 \}}\).

[Math_Logic]

Można też zauważyć, że jeżeli mnożymy jakąś liczbę przez liczbę jednocyfrową, to przedostatnia cyfra zależy od dwóch ostatnich cyfr.

Zatem mnożę przez trzy kolejne liczby, skracając je do złożonych z dwóch ostatnich cyfr:
\(\displaystyle{ 03, 09, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03, ...}\)

Jak widać wszystkie przedostatnie cyfry są parzyste. Koniec (mało subtelnego) dowodu.

[a4karo]

A żeby tyle nie liczyć, wystarczy zauważyć, że `3^{n+4}-3^n=80\cdot 3^n` i sprawdzić tylko cztery pierwsze potęgi