Liczba zawzięta

[mol_ksiazkowy]

Liczba zawzięta to taka, której dowolna wielokrotność ma wszystkie cyfry \(\displaystyle{ \{ 0,..., 9 \}}\) (niektóre moga się powtarzać). Czy takie liczby istnieją ?

[Premislav]

Twierdzę, że nie istnieją. W szczególności, dla każdej liczby naturalnej istnieje jej wielokrotność, która nie ma innych cyfr prócz zer i jedynek.
Istotnie, dla zera i jedynki wystarczy wziąć je same jako wielokrotności, a dalej ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n>1}\) i rozpatrzmy liczby
\(\displaystyle{ 1, \ 11, \ldots \overbrace{11\ldots 1}^{n+1}}\). Tych liczb jest \(\displaystyle{ n+1}\), więc z zasady szufladkowej Dirichleta pewne dwie przystają modulo \(\displaystyle{ n}\), a wtedy różnica większej i mniejszej spełnia warunki.