Pytanie: Teoria Liczb - Liczby bliźniacze

[Tomasz pi ER 2]

Mam takie pytanie ( nie widziałem innego działu, więc dodałem go tu):
Jeśli pokażemy /wykażemy( hipotetycznie) iż odległość miedzy dwoma kolejnymi liczbami pierwszymi ( \(\displaystyle{ p(n)}\) i \(\displaystyle{ p(n+1)}\) ) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności jest stała i wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to czy to jest dowód na istnienie nieskończonej ilości liczb bliźniaczych ? Czy tylko pokazuje rozkład tych liczb?

[arek1357]

Trochę to nie ma sensu.

Dodano po 8 minutach 17 sekundach:
Od pewnego miejsca odległość między liczbami pierwszymi (kolejnymi) musiała wynosić np: 1,5

[Tomasz pi ER 2]

racja. chodziło mi o odległość "2". tzn miedzy jedną liczbą a drugą jest tylko jedna liczba. pytanie czy byłby to dowód?

[Premislav]

W takim razie odpowiedź brzmi: byłby to dowód (wszak jak wiadomo, liczb pierwszych jest nieskończenie wiele), jednak po prostu wiemy, że tak nie jest (czyli odległośc między \(\displaystyle{ p(n+1)}\) a \(\displaystyle{ p(n)}\) nie jest od pewnego miejsca stale równa dwa), najprościej tak to uzasadnić, że dla \(\displaystyle{ p\in \NN}\) któraś z liczb \(\displaystyle{ p, \ p+2, \ p+4}\) dzieli się przez trzy.

[Tomasz pi ER 2]

Ok. To może takie rozumowanie: ( nie koniecznie prawidłowe)
Niech \(\displaystyle{ p(n)}\) to \(\displaystyle{ n}\)-ta liczba pierwsza.
Niech \(\displaystyle{ p(m)}\) to \(\displaystyle{ m}\)-ta liczba pierwsza.
Niech \(\displaystyle{ m>n}\).
Funkcja \(\displaystyle{ \pi (n)}\) to funkcja zliczająca ile liczb pierwszych jest nie większych od liczby \(\displaystyle{ n}\).

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CF%80

\(\displaystyle{ \pi (p(n))=n}\)
\(\displaystyle{ \pi (p(m))=m}\)

Zdefiniujmy pewną wielkość nazwijmy ją- "gęstość" \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)} =\frac{\pi (n)}{p(n)}}\) jest to jakby

gęstość ilość liczb pierwszych do "\(\displaystyle{ n}\)"
\(\displaystyle{ \varrho _{p(n)} =\frac{n}{p(n)}}\)
\(\displaystyle{ \varrho _{p(m)} =\frac{m}{p(m)}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ p(m)}\) i \(\displaystyle{ p(n)}\) są bliźniacze to:
\(\displaystyle{ p(m)=p(n)+2}\) i \(\displaystyle{ m=n+1}\) ( bo \(\displaystyle{ m}\) jest kolejną liczbą pierwszą).


Niech \(\displaystyle{ \Delta _{m,n}=\varrho _{p(m)}-\varrho _{p(n)}}\) to różnica gęstości
\(\displaystyle{ \Delta _{m,n}=\frac{m}{p(m)}-\frac{n}{p(n)}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ p(m)}\) i \(\displaystyle{ p(n)}\) są bliźniacze to:
\(\displaystyle{ \Delta _{m,n}=\frac{n+1}{p(n)+2}-\frac{n}{p(n)}=\frac{p(n)-2n}{p(n)(p(n)+2)}.}\)


Niech: \(\displaystyle{ \Pi _{p(m)}=\Delta _{m,n}\cdot p(m)}\) --- ilość liczb między dwoma liczbami bliźniaczymi.

Jeśli \(\displaystyle{ \Pi _{p(m)}}\) będzie stałe dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) ( czyli \(\displaystyle{ n \to \infty }\) ), tzn. że nie ma takiego obszaru gdzie \(\displaystyle{ p(m)-p(n) \rightarrow 0. }\)

Policzmy:
\(\displaystyle{ \Delta _{m,n}\cdot p(m)=\frac{n+1}{p(n)+2}-\frac{n}{p(n)}=\frac{p(n)-2n}{p(n)(p(n)+2)}\cdot p(m)}\)
ponieważ : \(\displaystyle{ p(m)=p(n)+2}\)
więc: \(\displaystyle{ \Delta _{m,n}\cdot p(m)=\frac{p(n)-2n}{p(n)}=1-\frac{2n}{p(n)}=1-2*\varrho _{p(n)}}\)
teraz: \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }=1-2\cdot \varrho _{p(n)}=1}\) bo gęstość liczb pierwszych dąży do \(\displaystyle{ 0}\) (\(\displaystyle{ \frac{n}{p(n)} \rightarrow 0}\) ) czyli jest stała.

Możemy użyć tzw. wersji ciągłej tzn. przyjąć pewne aproksymacje funkcji \(\displaystyle{ \pi (n)}\)
1) \(\displaystyle{ \pi (n) = \frac{\ln (n)}{n}}\) wtedy \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}= \frac{1}{\ln (n)}}\) lub np.
2) \(\displaystyle{ \pi (n) =li(n) }\) gdzie \(\displaystyle{ li(n)}\) to logarytm całkowy, wtedy \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}= \frac{li (n)}{n}.}\)

W wersji tzw. ciągłej:
\(\displaystyle{ \Pi _{p(m)}=\int_{1}^{\infty }(\varrho _{m}-\varrho _{n})dn=const.}\)

Jak wstawimy tam nasze wyrażenia to otrzymamy odpowiednio:
1) \(\displaystyle{ \approx 1.045}\)
2) \(\displaystyle{ \approx 1.2755}\)

mogę oczywiście przesłać obliczenia (trzeba skorzystać z tzw. wartości głównej Cauchego P.V).

Oczywiście mogłem się gdzieś pomylić, ale wszystko jest do sprawdzenia.

Jeśli ktoś mógłby "rzucić" okiem to byłbym wdzięczny.

[matmatmm]

Zdefiniujmy pewną wielkość nazwijmy ją- "gęstość" \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)} =\frac{\pi (n)}{p(n)}}\) jest to jakby

gęstość ilość liczb pierwszych do "\(\displaystyle{ n}\)"
\(\displaystyle{ \varrho _{p(n)} =\frac{n}{p(n)}}\)
\(\displaystyle{ \varrho _{p(m)} =\frac{m}{p(m)}.}\)

To w końcu gęstość wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi (n)}{p(n)}}\) czy \(\displaystyle{ \frac{n}{p(n)}}\)? Nie zachodzi przecież \(\displaystyle{ n=\pi(n)}\).
Po drugie pozwolę sobie mieć zastrzeżenie do oznaczenia \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)} }\), gdyż ewidentnie zależność jest od \(\displaystyle{ n}\), więc poprawnie byłoby oznaczyć to na przykład \(\displaystyle{ \varrho _{n}}\).
Patrząc na dalszą część rozumowania wprowadzę własne oznaczenie \(\displaystyle{ \rho_n= \frac{n}{p(n)}}\)

Niech \(\displaystyle{ \Delta _{m,n}=\varrho _{p(m)}-\varrho _{p(n)}}\) to różnica gęstości
\(\displaystyle{ \Delta _{m,n}=\frac{m}{p(m)}-\frac{n}{p(n)}.}\)

W moich oznaczeniach \(\displaystyle{ \Delta _{m,n}=\varrho _{m}-\varrho _{n}=\frac{m}{p(m)}-\frac{n}{p(n)}.}\)

Niech: \(\displaystyle{ \Pi _{p(m)}=\Delta _{m,n}\cdot p(m)}\) --- ilość liczb między dwoma liczbami bliźniaczymi.

Znów oznaczenie \(\displaystyle{ \Pi _{p(m)}}\) jest niedobre. Pozwolę sobie na własne oznaczenie \(\displaystyle{ \Pi_n=\Delta_{n+1,n}\cdot p(n+1)}\). Wtedy, gdy \(\displaystyle{ p(n)}\) jest mniejszą z dwóch liczb bliźniaczych, zachodzą właśnie postulowane równości

\(\displaystyle{ \Pi_n=\left(\frac{n+1}{p(n)+2}-\frac{n}{p(n)}\right)\left( p(n)+2\right)=1-2\rho_n }\)

Nie mam pojęcia czemu twierdzisz, że jest to ilość liczb między dwoma liczbami bliźniaczymi.

Jeśli \(\displaystyle{ \Pi _{p(m)}}\) będzie stałe dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) ( czyli \(\displaystyle{ n \to \infty }\) ), tzn. że nie ma takiego obszaru gdzie \(\displaystyle{ p(m)-p(n) \rightarrow 0. }\)

1. W świetle moich oznaczeń zaryzykuję stwierdzenie, że \(\displaystyle{ \Pi_n}\) nie jest stałe dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\), ani nawet dla tych \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ p(n)}\) jest mniejszą z dwóch liczb bliźniaczych.
2. W tym przechodzeniu do granicy nie widzę wiele sensu.

teraz: \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }=1-2\cdot \varrho _{p(n)}=1}\) bo gęstość liczb pierwszych dąży do \(\displaystyle{ 0}\) (\(\displaystyle{ \frac{n}{p(n)} \rightarrow 0}\) ) czyli jest stała.

Przecież wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n}{p(n)}}\) nie dąży do zera.

Możemy użyć tzw. wersji ciągłej tzn. przyjąć pewne aproksymacje funkcji \(\displaystyle{ \pi (n)}\)
1) \(\displaystyle{ \pi (n) = \frac{\ln (n)}{n}}\) wtedy \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}= \frac{1}{\ln (n)}}\) lub np.
2) \(\displaystyle{ \pi (n) =li(n) }\) gdzie \(\displaystyle{ li(n)}\) to logarytm całkowy, wtedy \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}= \frac{li (n)}{n}.}\)

A to niby dlaczego możemy przyjąć aproksymacje?

W wersji tzw. ciągłej:
\(\displaystyle{ \Pi _{p(m)}=\int_{1}^{\infty }(\varrho _{m}-\varrho _{n})dn=const.}\)

No i niby dlaczego nagle możemy zastąpić otrzymany wzór na \(\displaystyle{ \Pi_n}\) przez powyższy wzór z całką? Nawiasem mówiąc ten wzór jest dość niezrozumiały.

Dodano po 5 minutach 23 sekundach:
Przepraszam. Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n}{p(n)}}\) dąży do zera. Jednak w rozumowaniu niewiele to zmienia, bo nic z tego nie wynika.

[Tomasz pi ER 2]

Witam,

Nie zachodzi przecież \(\displaystyle{ n=π(n)}\)

Oczywiście że zachodzi... napisałem przecież:
Niech p(n) będzie n-tą liczbą pierwszą. Z definicji funkcji "pi" zachodzi ta zależność...

Po drugie pozwolę sobie mieć zastrzeżenie do oznaczenia

Ok ale oznaczenia wprowadziłem ja i nie widzę aby były niepoprawne a są , moim zdaniem, bardziej czytelne.

Nie mam pojęcia czemu twierdzisz, że jest to ilość liczb między dwoma liczbami bliźniaczymi.

jakby to prościej wytłumaczyć... może analogia do fizyki. Jeśli weźmiemy różnicę miedzy dwoma gęstościami i pomnożymy ją przez "objętość" ( w naszym przypadku jest to długość odcinka) to otrzymamy "ilość" (liczebność) masy - w naszym przypadku liczb.

W świetle moich oznaczeń zaryzykuję stwierdzenie, że Πn nie jest stałe

Oczywiście że nie jest stałe. Jak zaczynam dowód to nie wiem jakie jest. Nie napisałem też że ono jest stałe tylko "jeśli będzie stałe"
To jest też odpowiedź na twoje drugie pytanie

W tym przechodzeniu do granicy nie widzę wiele sensu.

Ponieważ "sprawdzamy" co by się stało jeśli będziemy zwiększali "n" do nieskończoności wtedy będziemy mieli pewność iż "zawsze" odległość miedzy tymi liczbami będzie dążyła do stałej czyli jakikolwiek "obszar" byśmy nie wybrali "zawsze" znajdziemy jakieś liczby pierwsze miedzy którymi będzie tylko jedna liczba...

A to niby dlaczego możemy przyjąć aproksymacje?

Dlatego iż funkcję "pi" musimy jakoś oszacować do obliczeń ( jest kilka tych aproksymacji -przyjąłem dwie chyba najprostsze)

No i niby dlaczego nagle możemy zastąpić otrzymany wzór na Πn przez powyższy wzór z całką? Nawiasem mówiąc ten wzór jest dość niezrozumiały.

Wzór całkowy jest odpowiednikiem wzoru dyskretnego na różnicę gęstości ( delta-podanego powyżej) ponieważ:
1) funkcja"pi" jest określona dla dodatnich liczb rzeczywistych
2) my tak naprawdę nie wiemy czy gęstość jest "stała" miedzy dwoma dowolnymi liczbami wiec stosujemy ( co jest chyba naturalne) całkę

Wyrażenie np(n) dąży do zera. Jednak w rozumowaniu niewiele to zmienia, bo nic z tego nie wynika.

oczywiście że wynika: stałość różnicy gęstości w nieskończoności ( rym niezamierzony )

[Jan Kraszewski]

Nie zachodzi przecież \(\displaystyle{ n=π(n)}\)

Oczywiście że zachodzi... napisałem przecież:
Niech p(n) będzie n-tą liczbą pierwszą. Z definicji funkcji "pi" zachodzi ta zależność...

Oczywiście, że nie zachodzi. Z definicji funkcji \(\displaystyle{ \pi}\) zachodzi zależność \(\displaystyle{ \pi(p(n))=n}\), a nie \(\displaystyle{ \pi(n)=n}\) (taka równość oznaczałaby, że wszystkie liczby naturalne są pierwsze...).

JK

[matmatmm]

Po drugie pozwolę sobie mieć zastrzeżenie do oznaczenia

Ok ale oznaczenia wprowadziłem ja i nie widzę aby były niepoprawne a są , moim zdaniem, bardziej czytelne.

Oznaczenie \(\displaystyle{ \varrho_{p_(n)}}\) sugeruje, że da się przypisać coś symbolowi \(\displaystyle{ \varrho_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne. Tymczasem z Twoich oznaczeń nie da się wywnioskować, co przypisać takiemu symbolowi.

Nie mam pojęcia czemu twierdzisz, że jest to ilość liczb między dwoma liczbami bliźniaczymi.

jakby to prościej wytłumaczyć... może analogia do fizyki. Jeśli weźmiemy różnicę miedzy dwoma gęstościami i pomnożymy ją przez "objętość" ( w naszym przypadku jest to długość odcinka) to otrzymamy "ilość" (liczebność) masy - w naszym przypadku liczb.

Nie widzę tego.

W tym przechodzeniu do granicy nie widzę wiele sensu.

Ponieważ "sprawdzamy" co by się stało jeśli będziemy zwiększali "n" do nieskończoności wtedy będziemy mieli pewność iż "zawsze" odległość miedzy tymi liczbami będzie dążyła do stałej czyli jakikolwiek "obszar" byśmy nie wybrali "zawsze" znajdziemy jakieś liczby pierwsze miedzy którymi będzie tylko jedna liczba...

Dalej nie widzę sensu. Co w ogóle ma znaczyć \(\displaystyle{ p(m)-p(n)\to 0}\) ?

A to niby dlaczego możemy przyjąć aproksymacje?

Dlatego iż funkcję "pi" musimy jakoś oszacować do obliczeń ( jest kilka tych aproksymacji -przyjąłem dwie chyba najprostsze)

Jeśli to ma być ścisły dowód, to musisz też dodać uzasadnienie, czemu można przyjąć przybliżenie. Wszak nie jest ono równe tej funkcji.

No i niby dlaczego nagle możemy zastąpić otrzymany wzór na Πn przez powyższy wzór z całką? Nawiasem mówiąc ten wzór jest dość niezrozumiały.

Wzór całkowy jest odpowiednikiem wzoru dyskretnego na różnicę gęstości ( delta-podanego powyżej) ponieważ:
1) funkcja"pi" jest określona dla dodatnich liczb rzeczywistych
2) my tak naprawdę nie wiemy czy gęstość jest "stała" miedzy dwoma dowolnymi liczbami wiec stosujemy ( co jest chyba naturalne) całkę

Jak w ogóle rozumieć ten wzór
\(\displaystyle{ \int_1^{\infty}(\varrho_m-\varrho_n)\dd n}\)
tzn. czym jest \(\displaystyle{ m}\) i czym jest \(\displaystyle{ \varrho_n}\), gdy \(\displaystyle{ n}\) nie jest naturalne?

Wyrażenie np(n) dąży do zera. Jednak w rozumowaniu niewiele to zmienia, bo nic z tego nie wynika.

oczywiście że wynika: stałość różnicy gęstości w nieskończoności ( rym niezamierzony )

No dobrze, mamy \(\displaystyle{ 1-2\rho_n \to 1}\), ale co dalej? Swoją drogą nie nazwałbym tego wyrażenia różnicą gęstości. Dodam, że równość \(\displaystyle{ \Pi_n=1-2\rho_n }\) (moje oznaczenia) zachodzi tylko, gdy \(\displaystyle{ p(n)}\) jest mniejszą z dwóch liczb bliźniaczych.

[Brombal]

Pojęcie gęstości liczb pierwszych powinno z grubsza odpowiadać prawdopodobieństwu tego, że wylosowana z przedziału liczba jest pierwszą. W tym przypadku nie odpowiada to rzeczywistości ponieważ wiem, że gdy będę losował z początku przedziału łatwiej trafię pierwszą a z końca trudniej.
Taka gęstość jest bezwartościowa.

[Tomasz pi ER 2]

witam,
odpowiedź do Jan Kraszewski

Nie zachodzi przecież \(\displaystyle{ n=π(n)}\)

Oczywiście że zachodzi... napisałem przecież:
Niech p(n) będzie n-tą liczbą pierwszą. Z definicji funkcji "pi" zachodzi ta zależność...

Oczywiście, że nie zachodzi. Z definicji funkcji \(\displaystyle{ \pi}\) zachodzi zależność \(\displaystyle{ \pi(p(n))=n}\), a nie \(\displaystyle{ \pi(n)=n}\) (taka równość oznaczałaby, że wszystkie liczby naturalne są pierwsze...).

JK

ok. to racja, chodziło mi o tę pierwszą zależność, \(\displaystyle{ \pi(p(n))=n}\), źle spojrzałem...
Jest jeszcze jedno przeoczenie mianowicie funkcja \(\displaystyle{ \pi}\): napisałem iż jest to "\(\displaystyle{ \frac{\log(n)}{n}}\)" a powinno być odwrotnie "\(\displaystyle{ \frac{n}{\log(n)}}\)" ... nie zmienia to wyniku bo obliczenia i gęstość jest dla prawidłowej zależności ale to błąd...

Odpowiedź do matmatmm :

Oznaczenie \(\displaystyle{ ϱ_{p(n)}}\) sugeruje, że da się przypisać coś symbolowi \(\displaystyle{ ϱ_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne. Tymczasem z Twoich oznaczeń nie da się wywnioskować, co przypisać takiemu symbolowi.

Oznaczenie sugeruje to co jest tam napisane... poza tym nie widzę tam u siebie indeksu "k" ... ale chyba nie będziemy się sprzeczać o coś tak błahego?

Nie mam pojęcia czemu twierdzisz, że jest to ilość liczb między dwoma liczbami bliźniaczymi.

jakby to prościej wytłumaczyć... może analogia do fizyki. Jeśli weźmiemy różnicę miedzy dwoma gęstościami i pomnożymy ją przez "objętość" ( w naszym przypadku jest to długość odcinka) to otrzymamy "ilość" (liczebność) masy - w naszym przypadku liczb.

Nie widzę tego.

Ja chyba nie potrafię jaśniej...może pokażę na "palcach" o co mi chodzi

W tym przechodzeniu do granicy nie widzę wiele sensu.

Ponieważ "sprawdzamy" co by się stało jeśli będziemy zwiększali "n" do nieskończoności wtedy będziemy mieli pewność iż "zawsze" odległość miedzy tymi liczbami będzie dążyła do stałej czyli jakikolwiek "obszar" byśmy nie wybrali "zawsze" znajdziemy jakieś liczby pierwsze miedzy którymi będzie tylko jedna liczba...

Dalej nie widzę sensu. Co w ogóle ma znaczyć \(\displaystyle{ p(m)−p(n)→0}\) ?

Napisałem : Jeśli \(\displaystyle{ Πp(m)}\) będzie stałe dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) ( czyli \(\displaystyle{ n→∞}\) ), tzn. że nie ma takiego obszaru gdzie \(\displaystyle{ p(m)−p(n)→0}\). tzn różnica "nie będzie" dążyć do zera.

A to niby dlaczego możemy przyjąć aproksymacje?

Dlatego iż funkcję "pi" musimy jakoś oszacować do obliczeń ( jest kilka tych aproksymacji -przyjąłem dwie chyba najprostsze)

Jeśli to ma być ścisły dowód, to musisz też dodać uzasadnienie, czemu można przyjąć przybliżenie. Wszak nie jest ono równe tej funkcji.

Ponieważ raczej nie znamy wyrażenie na "dokładną" wartość funkcji "pi"? Może dlatego? Jest chyba ( z tego co pamiętam) rozwiniecie Riemanna ( suma logarytmów całkowych) ale nie wiem jak ono jest "dokładne". Uzasadnienie iż \(\displaystyle{ \frac{n}{\log(n)}}\) przybliża "pi" pochodzi chyba jeszcze od Eulera...

Jak w ogóle rozumieć ten wzór
\(\displaystyle{ \int_1^\infty(ϱ_m−ϱ_n)dn}\)
tzn. czym jest \(\displaystyle{ m}\) i czym jest \(\displaystyle{ ϱ_n}\), gdy \(\displaystyle{ n}\) nie jest naturalne?

Ok. uzasadnienie podałem powyżej . po prostu funkcja "pi" jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych ( link do definicji z wikipedi podałem wcześniej, na początku mojego wywodu) ,dlatego całka...

Dodam, że równość \(\displaystyle{ Πn=1−2ρ_n}\) (moje oznaczenia) zachodzi tylko, gdy \(\displaystyle{ p(n)}\) jest mniejszą z dwóch liczb bliźniaczych.

tak zgadza się , napisałem to przecież na początku: Niech \(\displaystyle{ m>n}\).

Odpowiedź do Brombal :

Pojęcie gęstości liczb pierwszych powinno z grubsza odpowiadać prawdopodobieństwu tego, że wylosowana z przedziału liczba jest pierwszą.

Tak, masz rację ale zwróć uwagę iż jest to co innego niż "różnica gęstości"... i to ma wartość:

Przykład "na palcach" ( również dla matmatmm):

weźmy dwie liczby bliźniacze: najbliższe \(\displaystyle{ 11}\) i \(\displaystyle{ 13}\), \(\displaystyle{ 11}\) jest piątą liczbą pierwszą a \(\displaystyle{ 13}\) szóstą wiec mamy \(\displaystyle{ \left( \frac{6}{13}-\frac{5}{11}\right) \cdot 13=0.(09)}\) czyli ok. \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) mało...

ale weźmy \(\displaystyle{ 104549}\) i \(\displaystyle{ 104551}\), jest to \(\displaystyle{ 9980}\) i \(\displaystyle{ 9981}\) liczba pierwsza, mamy więc \(\displaystyle{ \left(\frac{ 9981}{104551}-\frac{9980}{104549}\right) \cdot 104551= 0.809084735...}\) dość blisko \(\displaystyle{ 1}\)...

można oczywiście policzyć dla większych i zobaczyć jak to rośnie...

[matmatmm]

Odpowiedź do matmatmm :

Oznaczenie \(\displaystyle{ ϱ_{p(n)}}\) sugeruje, że da się przypisać coś symbolowi \(\displaystyle{ ϱ_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne. Tymczasem z Twoich oznaczeń nie da się wywnioskować, co przypisać takiemu symbolowi.

Oznaczenie sugeruje to co jest tam napisane... poza tym nie widzę tam u siebie indeksu "k" ... ale chyba nie będziemy się sprzeczać o coś tak błahego?

Najwyraźniej nie zrozumiałeś mojego zastrzeżenia. Symbol \(\displaystyle{ ϱ_{p(n)}}\) powinien przypisywać coś liczbie \(\displaystyle{ p(n)}\), a nie liczbie \(\displaystyle{ n}\) tzn. być szczególnym przypadkiem symbolu \(\displaystyle{ \varrho_k}\).

Napisałem : Jeśli \(\displaystyle{ Πp(m)}\) będzie stałe dla wszystkich \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) ( czyli \(\displaystyle{ n→∞}\) ), tzn. że nie ma takiego obszaru gdzie \(\displaystyle{ p(m)−p(n)→0}\). tzn różnica "nie będzie" dążyć do zera.

W wyrażeniu \(\displaystyle{ p(m)-p(n)}\) są dwie zmienne \(\displaystyle{ n,m}\). Jak chcesz liczyć granicę z czegoś takiego?

Jak w ogóle rozumieć ten wzór
\(\displaystyle{ \int_1^\infty(ϱ_m−ϱ_n)dn}\)
tzn. czym jest \(\displaystyle{ m}\) i czym jest \(\displaystyle{ ϱ_n}\), gdy \(\displaystyle{ n}\) nie jest naturalne?

Ok. uzasadnienie podałem powyżej . po prostu funkcja "pi" jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych ( link do definicji z wikipedi podałem wcześniej, na początku mojego wywodu) ,dlatego całka...

Ale jak określone jest \(\displaystyle{ \varrho_n}\)?
Po drugie całkujesz po jednej zmiennej \(\displaystyle{ n}\), pod całką występuje jeszcze nieokreślona zmienna \(\displaystyle{ m}\).

[Tomasz pi ER 2]

Witam,

Najwyraźniej nie zrozumiałeś mojego zastrzeżenia. Symbol ϱp(n) powinien przypisywać coś liczbie p(n), a nie liczbie n tzn. być szczególnym przypadkiem symbolu ϱk.

Ok... Jeśli \(\displaystyle{ p(n)}\) wskazuje na "coś" to \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}}\) też na "coś" wskazuje...
Tak sobie myślę iż ta rozmowa o indeksach "trochę" rozmija się z tematem tej rozmowy, nieprawdaż ?

W wyrażeniu p(m)−p(n) są dwie zmienne n,m. Jak chcesz liczyć granicę z czegoś takiego?

Może korzystając z tego m=n+1? ( napisałem to na początku postu)
Po drugie : nie wiem czy słyszałeś o granicy dwóch zmiennych?

Kod: Zaznacz cały

https://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/c_analiza_matematyczna/wyklady/Wyklad11.htm

Ale jak określone jest ϱn?
Po drugie całkujesz po jednej zmiennej n, pod całką występuje jeszcze nieokreślona zmienna m.

Jeśli chodzi o "m" to wyjaśnienie jak powyżej.
Jeśli chodzi o funkcję \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}}\) to ją opisałem przecież wcześniej: albo n/log(n) lub Li(n)

[matmatmm]

Witam,

Najwyraźniej nie zrozumiałeś mojego zastrzeżenia. Symbol ϱp(n) powinien przypisywać coś liczbie p(n), a nie liczbie n tzn. być szczególnym przypadkiem symbolu ϱk.

Ok... Jeśli \(\displaystyle{ p(n)}\) wskazuje na "coś" to \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}}\) też na "coś" wskazuje...
Tak sobie myślę iż ta rozmowa o indeksach "trochę" rozmija się z tematem tej rozmowy, nieprawdaż ?

Rozważ analogiczny przykład (wymyślony przeze mnie):

Niech \(\displaystyle{ f(x)=x^2+1}\) dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\), a \(\displaystyle{ \sigma_{f(x)}=\frac{x}{f(x)}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \sigma_{2}=\sigma_{f(1)}=\frac{1}{f(1)}=\frac{1}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \sigma_2=\sigma_{f(-1)}=\frac{-1}{f(-1)}=-\frac{1}{2}}\)

W wyrażeniu p(m)−p(n) są dwie zmienne n,m. Jak chcesz liczyć granicę z czegoś takiego?

Może korzystając z tego m=n+1? ( napisałem to na początku postu)

Nie jestem jasnowidzem.

Ale zaryzykuję stwierdzenie, że granica wyrażenia \(\displaystyle{ p(n+1)-p(n)}\) nie istnieje.

Po drugie : nie wiem czy słyszałeś o granicy dwóch zmiennych?

Kod: Zaznacz cały

https://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/c_analiza_matematyczna/wyklady/Wyklad11.htm

Owszem, słyszałem, ale granica wyrażenia \(\displaystyle{ p(m)-p(n)}\) przy \(\displaystyle{ (m,n)\to (\infty, \infty)}\) tym bardziej nie istnieje. Swoją drogą tego typu granica jest dość nietypowa.

Ale jak określone jest ϱn?
Po drugie całkujesz po jednej zmiennej n, pod całką występuje jeszcze nieokreślona zmienna m.

Jeśli chodzi o "m" to wyjaśnienie jak powyżej.

Czyli \(\displaystyle{ m=n+1}\)?

Jeśli chodzi o funkcję \(\displaystyle{ \varrho _{p(n)}}\) to ją opisałem przecież wcześniej: albo n/log(n) lub Li(n)

Ale wartość \(\displaystyle{ \frac{n}{p(n)}}\) powinna się pokrywać z wartością \(\displaystyle{ n/\log(n)}\) (lub \(\displaystyle{ \mathrm{Li}(n)}\)) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).

A nawet, gdy wstawisz to co chcesz do wzoru to całka \(\displaystyle{ \int_1^{\infty}\left( \frac{n+1}{\log(n+1)}-\frac{n}{\log(n)}\right) \dd n}\) wskazuje na jakąś stałą (jeśli całka jest zbieżna, nie sprawdzałem tego). Ta liczba nie ma żadnego związku z \(\displaystyle{ \Pi_n}\) (moje oznaczenia).

[Tomasz pi ER 2]

Witam,

Rozważ analogiczny przykład (wymyślony przeze mnie):

Ok ale jak widać dalej na "coś" wskazuje, nie koniecznie jednoznacznie ale jednak... ( indeksy nie zawsze muszą wskazywać pewne rzeczy jednoznacznie ,ale mogą po wyjaśnieniach)... myślę iż rozmowa o indeksach uważam za zakończoną...

Nie jestem jasnowidzem.

Nie trzeba, wystarczy czytać dokładnie mój post od początku...

Ale zaryzykuję stwierdzenie, że granica wyrażenia \(\displaystyle{ p(n+1)−p(n)}\) nie istnieje.

Na jakiej podstawie?

Owszem, słyszałem, ale granica wyrażenia \(\displaystyle{ p(m)−p(n)}\) przy \(\displaystyle{ (m,n)→(∞,∞)}\) tym bardziej nie istnieje. Swoją drogą tego typu granica jest dość nietypowa.

No i właśnie na tym polega ten "trick", trzeba pokazać iż właśnie "ta" różnica istnieje i jest skończona.

jeśli całka jest zbieżna, nie sprawdzałem tego

ja sprawdziłem, jest.
Ta liczba pokazuje właśnie iż różnica miedzy dwoma liczbami bliźniaczymi jest skończona i bliska "1" co pokazuje iż zawsze ( to pokazuje ta granica "do nieskończoności") znajduje się jedna liczba

Ta liczba nie ma żadnego związku z \(\displaystyle{ Πn}\)

Na jakiej podstawie? jakiś argument?