Dowód niewymierności

[NumberTwo]

Pokazać, że jeśli liczba naturalna \(\displaystyle{ m}\) jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych, to \(\displaystyle{ \sqrt{m}}\) nie jest liczbą wymierną.

[Jan Kraszewski]

Zrób dowód nie wprost.

JK

[Math_Logic]

Pierwiastek z liczby naturalnej, która nie jest kwadratem liczby naturalnej jest liczbą niewymierną. A iloczyn dwóch różnych liczb pierwszych nie jest kwadratem liczby naturalnej. Trudno powiedzieć co jest bardziej "podstawowym" faktem. Może autor sprecyzuje, której części dowodu pragnie.

[Jan Kraszewski]

Pierwiastek z liczby naturalnej, która nie jest kwadratem liczby naturalnej jest liczbą niewymierną.

Chodzi jak sądzę o dowód elementarny, a nie odwołujący się do twierdzenia o podobnej sile.

JK

[Math_Logic]

Po prostu nie widzę sensu ani merytorycznego, ani dydaktycznego, do robienia takiej wariacji twierdzenia, o którym wspomniałem.

[Jan Kraszewski]

Ale twierdzenie, na które się powołałeś też wymaga dowodu.

Możesz nie widzieć sensu, ale skoro pytający o to pyta, to widocznie ma powód.

JK

[Janusz Tracz]

Po prostu nie widzę sensu ... ani dydaktycznego, do robienia takiej wariacji twierdzenia...

Serio nie widzisz sensu (szczególnie dydaktycznego) rozważania szczególnych przypadków twierdzeń. Czyli Twoim zdaniem od razu lepiej udowodnić wersję możliwie ogólną. Wiesz zawsze można udowodnić jakieś twierdzenia w stylu

Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in\NN}\) liczba \(\displaystyle{ a^{1/b}}\) jest całkowita albo niewymierna.

To też załatwi sprawę. Tylko ktoś z zewnątrz powinien jeszcze ocenić czy robienie Twojej wersji twierdzenia na sens w światle twierdzenia powyżej.

@autor Co do zadania. Jeśli nie lubisz dowodów nie wprost to możesz zastanowić się nad wymiernymi kandydatami na miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^2-m}\), gdzie \(\displaystyle{ m=pq}\) dla \(\displaystyle{ p,q}\) pierwszych i różnych.

[Math_Logic]

Serio nie widzisz sensu (szczególnie dydaktycznego) rozważania szczególnych przypadków twierdzeń. Czyli Twoim zdaniem od razu lepiej udowodnić wersję możliwie ogólną.

Tego nie powiedziałem. Rozumiem, że wywołałem emocje, może stąd ta hiperbola. Mówiłem o tym konkretnym twierdzeniu. Udowodnienie go zwłaszcza nie wprost wymaga bardzo podobnego rozumowania i podobnej ilości pracy co twierdzenia, o którym wspomniałem wyżej. Skupienie się na pierwiastku z konkretnej liczby również, ale za to pozwala się zaczepić o coś konkretnego (co jest potrzebne w procesie uczenia się), natomiast w przypadku liczby prawie pierwszej ogólność rozważań nie przekracza konceptualnie ogólności wszystkich liczb naturalnych, które nie są kwadratami. Chyba, że czegoś nie widzę...

Dostając te dwie odpowiedzi zacząłem się zastanawiać nad sensem tego zadania i albo jest zwykłym udziwnieniem, żeby jakoś zmienić zadanie. Albo jest elementem pracy, która ma porównywać na przykład dowody w podobnych, ale jednak różnych przypadkach - co byłby dość ciekawe i dydaktycznie pożądane. Także tak jak wspomniał Jan Kraszewski, może faktycznie bez kontekstu nie powinienem oceniać.