Sumy kwadratów

[a4karo]

Łatwo obliczyć, że
$$3^2+4^2=5^2$$
$$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$$
$$21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2$$

Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n>1}\) istnieje \(\displaystyle{ N\in\NN}\) takie, że zachodzi równość
$$(N-n)^2+(N-n+1)^2+\dots+N^2=(N+1)^2+\dots+(N+n)^2.$$

Ukryta treść:    

Math Horizons 2008

[Premislav]

Dla ustalonego \(\displaystyle{ n>1}\) weźmy \(\displaystyle{ N=2n^2+2n}\) i cierpliwe użycie wzorku \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^mk^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}}\) pokazuje nam, że to działa.

[a4karo]

A jak ktoś nie ma tyle cierpliwości, to może tak:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ N=4(1+2+\dots+n)}\), a stąd
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n (N-k)^2+N^2=\sum_{k=1}^n (N-k)^2+4N\sum_{k=1}^n k=\sum_{k=1}^n \left[(N-k)^2+4kN\right]=\sum_{k=1}^n(N+k)^2}\)

Dodano po 2 minutach 31 sekundach:
To zadanie ma fajną interpretację geometryczną: kwadrat `N\times N` rozcinamy na `4` paski o szerokości `1`, `4` paski o szerokości `2` etc,a następnie "okładamy" tymi paskami kwadraty z lewej strony, otrzymując kwadraty z prawej.

[Elayne]

To zadanie ma fajną interpretację geometryczną: kwadrat `N\times N` rozcinamy na `4` paski o szerokości `1`, `4` paski o szerokości `2` etc,a następnie "okładamy" tymi paskami kwadraty z lewej strony, otrzymując kwadraty z prawej.

To odnosi do „pozycji ? kolumny” przed znakiem równości t.j.
\(\displaystyle{
3^2+ \textcolor{red}{4^2} =5^2 \\
10^2+11^2+ \textcolor{red}{12^2} =13^2+14^2 \\
21^2+22^2+23^2+ \textcolor{red}{24^2} =25^2+26^2+27^2
}\)


\(\displaystyle{ 4(1+2+3+ \ldots)}\)

[a4karo]

Tak

[Math_Logic]

Tak się zastnawiam na szybko:
(*) \(\displaystyle{ (N+n)^2 - (N-n)^2 = 4nN}\)

W równaniu \(\displaystyle{ \left( N-n\right)^2 + \left( N-n+1\right)^2 + \ldots +N^2 = \left( N+1\right)^2 + \ldots +\left( N+n\right)^2}\) odejmijmy od obustron \(\displaystyle{ \left( N-n\right)^2 + \left( N-n+1\right)^2 + \ldots +(N-1)^2}\)

Korzystając z (*) dostajemy \(\displaystyle{ N^2 = 4n^2N}\) a ostatecznie
\(\displaystyle{ N = 4n^2}\)
Zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ N}\), które spelnia tezę i jest ono równe \(\displaystyle{ N = 4n^2.}\)

[a4karo]

Tak się zastnawiam na szybko:
(*) \(\displaystyle{ (N+n)^2 - (N-n)^2 = 4nN}\)

W równaniu \(\displaystyle{ \left( N-n\right)^2 + \left( N-n+1\right)^2 + \ldots +N^2 = \left( N+1\right)^2 + \ldots +\left( N+n\right)^2}\) odejmijmy od obustron \(\displaystyle{ \left( N-n\right)^2 + \left( N-n+1\right)^2 + \ldots +(N-1)^2}\)

Korzystając z (*) dostajemy \(\displaystyle{ N^2 = 4n^2N}\) a ostatecznie
\(\displaystyle{ N = 4n^2}\)
Zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ N}\), które spelnia tezę i jest ono równe \(\displaystyle{ N = 4n^2.}\)

Prawie dobrze. Pomyśl co tu się nie zgadza

[Math_Logic]

Zdaje się, że \(\displaystyle{ n}\) jest u mnie zmienne, a nie dowolnie ustalone i nastąpiła kolizja oznaczeń.

Po odjęciu stronami mamy \(\displaystyle{ N^2 = 4N + 8N + 12N + \ldots + 4nN}\)
\(\displaystyle{ N = 4\left( 1 + 2 + \ldots + n\right) }\)

Tak jak w Twoim rozwiązaniu wyżej. Tylko, że na tym już można zakończyć zadanie, bo dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) znaleźliśmy takie \(\displaystyle{ N}\). Ponadto nasze \(\displaystyle{ n}\) nie musi być nawet większe od \(\displaystyle{ 1}\).