Parametryzacja krzywej. Równania Pella

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Parametryzacja krzywej. Równania Pella

Post autor: pawlo392 »

Mam problem ze znalezieniem parametryzacji takiej krzywej:
\(\displaystyle{ x^2+4xy+4y+2=0}\). Pokazanie, że na tej krzywej nie ma punktów o współrzednych całkowitych jest stosunkowo proste bo wystarczy doprowadzić je do postaci: \(\displaystyle{ (x+1)(x+4y-1)=-3}\) i wtedy rozważyć przypadki. Ale jak w ogóle taką parametryzację znaleźć?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Parametryzacja krzywej. Równania Pella

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ x^2+4xy+4y+2=0 \ \ (1) }\)

Wyznaczniki

\(\displaystyle{ w = \left| \begin{matrix} 1 &2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right| = 1\cdot 0 - 2\cdot 2 = -4< 0 }\)

\(\displaystyle{ W = \left| \begin{matrix} 1 &2 & 0\\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 &2 & 0\\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = 1\cdot \left|\begin{matrix} -4 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right| = -4\cdot 2 -2\cdot 2 = -8 - 4 = -12 \neq 0. }\)

Równanie \(\displaystyle{ (1) }\) przedstawia hiperbolę, którą należy sprowadzić do postaci kanonicznej, aby otrzymać równanie Pella.
ODPOWIEDZ