Różnice

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Różnice

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ x^3-x}\) i \(\displaystyle{ x^4-x}\) są całkowite, to także \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Różnice

Post autor: arek1357 »

Skoro:

\(\displaystyle{ x^4-x , x^3-x}\) - całkowite to:


\(\displaystyle{ \frac{x^4-x}{x^3-x}= \frac{x^2+x+1}{x+1}=x+ \frac{1}{x+1} }\) - wymierna \(\displaystyle{ =w_{1} }\)

\(\displaystyle{ x+1+ \frac{1}{x+1} }\) - też wymierna \(\displaystyle{ =w}\)

niech:

\(\displaystyle{ x+1=t}\)

mamy:

\(\displaystyle{ t+ \frac{1}{t}=w}\)

lub:

\(\displaystyle{ t^2-wt+1=0}\)

\(\displaystyle{ t=x+1= \frac{w+ \sqrt{w^2-4} }{2}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{w-2+ \sqrt{w^2-4} }{2} }\)

Wystarczy wziąć tylko jeden pierwiastek...


postawimy do krótszej różnicy i mamy:

\(\displaystyle{ x^3-x= \frac{1}{2} \sqrt{w^2-4} \left( w^2-3w+1\right) + \frac{1}{2} \left( w^3-3w^2-w\right) +3}\)

Jak widać to po prawej musi być całkowite, jak na razie dla nas wystarczy by było wymierne więc musi być:

\(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\)

ale tu:

\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5} }\)

więc \(\displaystyle{ w}\) nijak nie będzie wymierne

Pozostaje nam aby:

\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}}\) - było wymierne czyli ma zachodzić:

\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}= \frac{c}{d} }\)

\(\displaystyle{ w= \frac{a}{b} }\)

mamy więc równanie:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} -4= \frac{c^2}{d^2} }\)

\(\displaystyle{ a, b, c, d}\) - całkowite

lub:

\(\displaystyle{ a^2d^2=4b^2d^2+c^2b^2}\)

inaczej:

\(\displaystyle{ (ad)^2=(2bd)^2+(cb)^2}\)

lub:

\(\displaystyle{ z^2+(2y)^2=x^2}\)

jest to równanie Pitagorasa diofantyczne rozwiązania to:

\(\displaystyle{ x=ad=m^2+n^2}\)

\(\displaystyle{ y=bd=mn}\)

\(\displaystyle{ z=bc=m^2-n^2}\)

\(\displaystyle{ w= \frac{a}{b} = \frac{ad}{bd} = \frac{m^2+n^2}{mn} = \frac{m}{n}+ \frac{n}{m} }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4} = \sqrt{\left( \frac{m}{n} + \frac{n}{m} \right)^2-4 } = \sqrt{ \left( \frac{m}{n} - \frac{n}{m} \right)^2}= \frac{m}{n} - \frac{n}{m}}\)


Jak widać są rozwiązania więc skoro:


\(\displaystyle{ x= \frac{w-2+ \sqrt{w^2-4} }{2}= \frac{m}{n}-1= \frac{a}{b} }\)

to co jest pierwiastkiem będzie wymierne więc możemy przypuszczać, że

(*) \(\displaystyle{ x= \frac{a}{b} , (a,b)=1}\)

więc podstawmy (*) do:

\(\displaystyle{ x^3-x \wedge x^4-x}\)

Wiadomo, że obie te różnice są całkowite więc zajdzie:

\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^3} - \frac{a}{b}=c }\)

\(\displaystyle{ \frac{a^4}{b^4} - \frac{a}{b}=d }\)

lub:

\(\displaystyle{ a^3-ab^2=b^3c/ \cdot a}\)

\(\displaystyle{ a^4-ab^3=b^4d}\)

więc mamy:

\(\displaystyle{ a^4=a^2b^2+ab^3c}\)

\(\displaystyle{ a^4=ab^3+b^4d}\)

porównamy:

\(\displaystyle{ ab^3+b^4d = a^2b^2+ab^3c /:b^2}\)

\(\displaystyle{ ab+b^2d=a^2+abc}\)

z tego widać, że:

\(\displaystyle{ b|a^2}\)

ale mamy, że: \(\displaystyle{ (a,b)=1}\)

z tego widać, że: \(\displaystyle{ b=1}\), więc:

\(\displaystyle{ x=a}\) - całkowite cnd...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Różnice

Post autor: Premislav »

arek1357 pisze: 3 lut 2022, o 19:29
postawimy do krótszej różnicy i mamy:

\(\displaystyle{ x^3-x= \frac{1}{2} \sqrt{w^2-4} \left( w^2-3w+1\right) + \frac{1}{2} \left( w^3-3w^2-w\right) +3}\)

Jak widać to po prawej musi być całkowite, jak na razie dla nas wystarczy by było wymierne więc musi być:

\(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\)

Nieprawda. \(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}}\) spokojnie może być liczbą wymierną dla \(\displaystyle{ w\in \QQ}\) (przykład to \(\displaystyle{ w=2}\)), toteż wcale nie musi być.
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: Różnice

Post autor: Math_Logic »

Premislav pisze: 3 lut 2022, o 20:28 Nieprawda. \(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}}\) spokojnie może być liczbą wymierną dla \(\displaystyle{ w\in \QQ}\) (przykład to \(\displaystyle{ w=2}\)), toteż wcale nie musi być.
Możesz rozwinąć? Bo przeczytałem kilka razy i nadal nie widzę w tym sensu.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Różnice

Post autor: Premislav »

To przeczytaj jeszcze kilka razy.

W zacytowanym fragmencie arek z wymierności RHS w nieuprawniony sposób wyciągnął wniosek, że musi zachodzić \(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\). Zapewne rozumowanie przebiegało tak: po lewej, zgodnie z treścią, mamy liczbę całkowitą, ergo wymierną, po prawej zatem także. No ale RHS to jest suma liczby ewidentnie wymiernej i tego wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}\left(w^2-3w+1\right)}\). No a to ostatnie jest iloczynem liczby wymiernej \(\displaystyle{ w^2-3w+1}\) i "czegoś z pierwiastkiem", więc żeby "coś z pierwiastkiem" nie psuło wymierności, trzeba ten iloczyn wyzerować (i otóż nie trzeba, bo niekiedy ten iloczyn jest wymierny mimo że \(\displaystyle{ w^2-3w+1\neq 0}\)).
Nie wiem, czego tutaj można nie zrozumieć, zacytowałem fragment i się doń odniosłem, wskazując, że stwierdzony przez arka "warunek konieczny" wcale takim nie jest.
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: Różnice

Post autor: Math_Logic »

Dziękuję.
Kwestia lenistwa, zbyt pobieżnie przejrzałem rozumowanie arka, stąd niezrozumienie do czego się w ogóle odnosisz. Przepraszam.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Różnice

Post autor: arek1357 »

spokojnie może być liczbą wymierną dla w
No chyba nie czytałeś posta do końca oczywiście napisałem , że to co w nawiasie musi być równe zero ale jeżeli to nie jest zero to wziąłem na tapetę pierwiastek i rozwiązuję go tak , żeby był wymierny widziałeś nie widziałeś czy żartujesz???

Jeszcze raz dla ciężej myślących:

Pierwszy punkt w którym zredukowałem do absurdu, że nawias może być zerowy więc skoro nie jest zerowy to czepiłem się pierwiastka, żeby był wymierny... Czy to teraz jest jasne???

[ciach]
Ostatnio zmieniony 3 lut 2022, o 22:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Trzymaj się tematu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Różnice

Post autor: Jan Kraszewski »

arek1357 pisze: 3 lut 2022, o 21:57oczywiście napisałem , że to co w nawiasie musi być równe zero
No i to był Twój błąd - to sformułowanie jest niepoprawne. Rozumowanie nie wprost formułuje się inaczej.
arek1357 pisze: 3 lut 2022, o 21:57ale jeżeli to nie jest zero to wziąłem na tapetę pierwiastek
Na

Kod: Zaznacz cały

https://sjp.pwn.pl/poradnia/haslo/na-tapet-czy-na-tapete;15076.html
, arku, na tapet...

JK
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Różnice

Post autor: arek1357 »

Uwaga Premislava nie miała żadnego sensu ponieważ można było wyciągnąć wnioski z dalszej części zadania a uwaga była tak sformułowana jakbym skończył na tym rozwiązywać i nie było dalszego ciągu, lecz już skoro napisał taką uwagę miał prawo owszem , to powinien odnieść się do dalszej części gdzie rozpatrzyłem drugi przypadek...(Jest jak byk w wersji dla niewidzących i niesłyszących)!!!

Bo tak trudno było się rzeczywiście domyśleć. Tak można by pisać jakby dalej nie było nic a było więc można się odnieść łaskawie...
Można było coś powiedzieć ale trzeba było odnieść się do dalszej części gdzie reszta rozumowania jest dokończona...
No i to był Twój błąd - to sformułowanie jest niepoprawne.
Tak tylko jest dalsza część a czepialstwo to domena "sfrustrowanych pań ot fszystkiego"

Dodano po 12 minutach 59 sekundach:
Zresztą zadanie długo leżało mógł jakiś krytykancki krytykant wcześniej rozwiązać bez błędnie sformułowanego zdańka, które przekreśliło całe rozwiązanie... Lecz nie pójdę z tym do sadu...!!!

Dodano po 22 minutach 57 sekundach:
U nas na takie poprawki niby prawdziwe a upierdliwe mówi się "świńskie poprawki"...
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Re: Różnice

Post autor: Slup »

Ostatnio czytam "Ekonomię polityczną" autorstwa wybitnego ekonomisty, agenta NKGB, Budowniczego Polski Ludowej prof. Oskara Langego. Polecam wszystkim. Dużo pożyteczniejsza lektura niż nauka matematyki.

W każdym razie wydaje mi się, że można to zadanie rozwiązać łatwiej niż Arek, o ile jego rozwiązanie jest poprawne (nie będę się wypowiadał na ten temat, bo nie czytałem).
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Różnice

Post autor: arek1357 »

o ile jego rozwiązanie jest poprawne
Stwierdzono, że niepoprawne bo zrobiłem błąd wypowiedzi, zresztą warto byś to prześledził razem z tą durną otoczką, bo nie mówię że w jednym miejscu wypowiedź mogła sugerować co inne niż było zamierzone, ale potem odniosłem się do swojej kontrowersyjnej wypowiedzi prostując i rozwijając temat prawidłowo... Więc to całe zamieszanie było idiotyczne... a na pewno upierdliwe...
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Re: Różnice

Post autor: Slup »

arek1357 pisze: 4 lut 2022, o 11:45 Stwierdzono, że niepoprawne bo zrobiłem błąd wypowiedzi, zresztą warto byś to prześledził razem z tą durną otoczką, bo nie mówię że w jednym miejscu wypowiedź mogła sugerować co inne niż było zamierzone, ale potem odniosłem się do swojej kontrowersyjnej wypowiedzi prostując i rozwijając temat prawidłowo... Więc to całe zamieszanie było idiotyczne... a na pewno upierdliwe...
Nie sprawdzałem rachunków, ale o ile się nie pomyliłeś w jakichś przekształceniach, to według mnie jest w porządku. Dam +1.

Mógłbyś jednak staranniej redagować takie rozwiązania. Ciężko to się czyta. Komunikowanie innym matematykom swoich pomysłów jest bardzo ważne. Wiadomo, że od razu nie będziesz tego robił sprawnie, ale jeśli zaczniesz się starać, to z czasem będzie coraz lepiej.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Różnice

Post autor: Premislav »

3ejku, porzepraszam, arku. Faktycznie nadmiar drobiazgowości z mojej strony.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Różnice

Post autor: arek1357 »

Dam +1

Ocena bardzo wysoka dziękuję tym bardziej, że w szkole powyżej 1 nic nie dostałem...

Czy masz kłopoty ze zrozumieniem moich treści?>
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Różnice

Post autor: mol_ksiazkowy »

@
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ