Niech \(\displaystyle{ a, b, c, d ∈ \ZZ \setminus \{ 0 \}}\) spełniają równość \(\displaystyle{ ad−bc= 1}\). Ponadto, dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ u, v}\) zdefiniujmy liczby \(\displaystyle{ u′=au+bv, v′=cu+dv}\).
Pokaż, że \(\displaystyle{ (u, v) = (u′, v′)}\).
Nie mam pomysłu na rozwiązanie tego zadania. Ktoś mnie wyreczy albo poda wskazowke.
Pokaż, że (u, v) = (u′, v′)
-
materla
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 9 sty 2022, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 9 razy
Pokaż, że (u, v) = (u′, v′)
Ostatnio zmieniony 9 sty 2022, o 18:33 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niedozwolony zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Niedozwolony zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Pokaż, że (u, v) = (u′, v′)
Wystarczy wykazać, że wspólne dzielniki \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są dokładnie takie same jak wspólne dzielniki \(\displaystyle{ u'}\) i \(\displaystyle{ v'}\). W tym celu zauważmy, że
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}}\).
Jeśli więc \(\displaystyle{ d}\) jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\), tj. \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = d \cdot \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ u_0, v_0 \in \ZZ}\), to
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} d \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix} = d \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix}}\)
zatem \(\displaystyle{ d}\) jest też wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ u'}\) i \(\displaystyle{ v'}\).
Z drugiej strony mamy
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix}}\).
Z uwagi na warunek \(\displaystyle{ ad-bc = 1}\) macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}}\) ma wyrazy całkowite, więc powtarzając symetrycznie powyższe rozumowanie dostajemy, że każdy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ u'}\) i \(\displaystyle{ v'}\) jest też wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) - czego należało dowieść.
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}}\).
Jeśli więc \(\displaystyle{ d}\) jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\), tj. \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = d \cdot \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ u_0, v_0 \in \ZZ}\), to
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} d \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix} = d \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix}}\)
zatem \(\displaystyle{ d}\) jest też wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ u'}\) i \(\displaystyle{ v'}\).
Z drugiej strony mamy
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} u' \\ v' \end{pmatrix}}\).
Z uwagi na warunek \(\displaystyle{ ad-bc = 1}\) macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}}\) ma wyrazy całkowite, więc powtarzając symetrycznie powyższe rozumowanie dostajemy, że każdy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ u'}\) i \(\displaystyle{ v'}\) jest też wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) - czego należało dowieść.