Bliskie podzielniki
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Bliskie podzielniki
Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) istnieją kolejne jej dzielniki, które różnią się o 2 ?
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Bliskie podzielniki
Weźmy liczbę \(\displaystyle{ k \in {\left\{ 4,6,12,18,30,42,60,72,102,108,138,150,180,192,198\right\} }}\)
weźmy liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\)
podstawmy
\(\displaystyle{ m=(n\cdot 210+k) ^{2} -1}\)
Dodano po 31 minutach 24 sekundach:
Przekombinowałem
\(\displaystyle{ m=n ^{2} -1}\) i wielokrotności
weźmy liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\)
podstawmy
\(\displaystyle{ m=(n\cdot 210+k) ^{2} -1}\)
Dodano po 31 minutach 24 sekundach:
Przekombinowałem
\(\displaystyle{ m=n ^{2} -1}\) i wielokrotności
Ostatnio zmieniony 10 sty 2022, o 00:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Bliskie podzielniki
Wielokrotności nie zawsze, np. \(\displaystyle{ m=n\cdot(n^2-1)}\) jest niedobre.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1707
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 412 razy
Re: Bliskie podzielniki
Dlaczego nie dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\), przecież dzielnikami są \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\)?mol_ksiazkowy pisze: ↑9 sty 2022, o 14:30 Dla jakich m istnieją kolejne jej dzielniki, które różnią się o 2 ?
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Bliskie podzielniki
Pewnie chodziło o dzielniki naturalne. Ale nawet dla dzielników całkowitych dla \(\displaystyle{ m=0}\) jest źle.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Bliskie podzielniki
Odnośnie przekombinowanego przykładu, to znacząca większość dzielników to liczby pierwsze bliźniacze. (niestety tylko w zakresie pracy kalkulatora potem jest gorzej).
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Bliskie podzielniki
Odpowiedź już właściwie padła, bo liczba z dwoma dzielnikami odległymi o \(\displaystyle{ 2}\) musi być postaci (tj. można do niej doprowadzić) \(\displaystyle{ m = n(n+2)k,}\) gdzie \(\displaystyle{ n,k \in \NN_+.}\)
Implikacja w lewo jest oczywista, dzielnikami \(\displaystyle{ m}\) odległymi od siebie o \(\displaystyle{ 2}\) są \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2.}\)
Implikacja w prawo również jest oczywista.
Dodatkowo musimy założyć, że \(\displaystyle{ k \neq n+1,}\) wtedy te dzielniki będą kolejne. Czyli \(\displaystyle{ m = n(n+2)k = n^2+2n+k = ((n+1)^2-1)k.}\) Żeby było ładniej:
Jeżeli \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ k \neq n,}\) to
\(\displaystyle{ m = (n^2-1)k.}\)
Implikacja w lewo jest oczywista, dzielnikami \(\displaystyle{ m}\) odległymi od siebie o \(\displaystyle{ 2}\) są \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2.}\)
Implikacja w prawo również jest oczywista.
Dodatkowo musimy założyć, że \(\displaystyle{ k \neq n+1,}\) wtedy te dzielniki będą kolejne. Czyli \(\displaystyle{ m = n(n+2)k = n^2+2n+k = ((n+1)^2-1)k.}\) Żeby było ładniej:
Jeżeli \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ k \neq n,}\) to
\(\displaystyle{ m = (n^2-1)k.}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Bliskie podzielniki
A czy można prosić o wyjaśnienie tej oczywistości, najlepiej na przykładach \(\displaystyle{ 4}\), \(\displaystyle{ 12}\), \(\displaystyle{ 84}\), \(\displaystyle{ 180}\)?Math_Logic pisze: ↑11 sty 2022, o 12:41Odpowiedź już właściwie padła, bo liczba z dwoma dzielnikami odległymi o \(\displaystyle{ 2}\) musi być postaci (tj. można do niej doprowadzić) \(\displaystyle{ m = n(n+2)k,}\) gdzie \(\displaystyle{ n,k \in \NN_+.}\)
[...]
Implikacja w prawo również jest oczywista.
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Bliskie podzielniki
Dla liczby \(\displaystyle{ 12}\), mamy odp. w pierwszym poście, cytuje:
\(\displaystyle{ m = 12}\) tak bo są nimi \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 6}\)
A teraz proszę zwrócić uwagę, jaki iloczyn dają te dzielniki.
\(\displaystyle{ m = 12}\) tak bo są nimi \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 6}\)
A teraz proszę zwrócić uwagę, jaki iloczyn dają te dzielniki.
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Bliskie podzielniki
Tak jak pokazałeś nie jest to prawda. Bezmyślnie stwierdziłem, że jeżeli dwie liczby są dzielnikami jakieś innej liczby, to ich iloczyn również jest jej dzielnikiem. Bardzo głupi błąd. Przepraszam.Dasio11 pisze: ↑11 sty 2022, o 13:08A czy można prosić o wyjaśnienie tej oczywistości, najlepiej na przykładach \(\displaystyle{ 4}\), \(\displaystyle{ 12}\), \(\displaystyle{ 84}\), \(\displaystyle{ 180}\)?Math_Logic pisze: ↑11 sty 2022, o 12:41Odpowiedź już właściwie padła, bo liczba z dwoma dzielnikami odległymi o \(\displaystyle{ 2}\) musi być postaci (tj. można do niej doprowadzić) \(\displaystyle{ m = n(n+2)k,}\) gdzie \(\displaystyle{ n,k \in \NN_+.}\)
[...]
Implikacja w prawo również jest oczywista.
Już próbuję naprawić:
Weźmy \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2}\) i znajdźmy wszystkie takie liczby, które mają wśród swoich dzielników te dwie liczby. Najmniejsza taka liczba, to \(\displaystyle{ NWW(n, n+2),}\) z definicji \(\displaystyle{ NWW}\). Korzystając z właśności \(\displaystyle{ NWW(n, n+2) = \frac{n(n+2)}{NWD(n,n+2)}.}\)
Rozpatrzmy dwie możliwości.
1. Liczba \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzysta. Wtedy \(\displaystyle{ NWD(n,n+2) = 1,}\) a zatem \(\displaystyle{ NWW(n, n+2) = n(n+2).}\)
2. Liczb \(\displaystyle{ n}\) jest parzysta. Wtedy \(\displaystyle{ NWD(n, n+2) = 2,}\) zatem \(\displaystyle{ NWW(n, n+2) = \frac{1}{2}n(n+2).}\)
Tak jak poprzednio bierzemy wszystkie ich wielokrotności, ale wśród nich wyrzucamy wszystkie \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ k \mid (n+1).}\)
Dasio11, czy teraz się zgadzasz?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Bliskie podzielniki
A czy wtedy nie zgubią się potęgi \(\displaystyle{ 2}\) ?2. Liczba \(\displaystyle{ n}\) jest parzysta.
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Bliskie podzielniki
Nie zgubią. Jedyne dzielniki potęgi dwójki, które spełniają warunki zadania, to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\). W mojej konstrukcji najmniejszą taką liczbą powinna być \(\displaystyle{ NWW(2,4) = 4.}\) Kolejne liczby o takich dzielnikach są tworzone przez branie odpowiednich wielokrotności \(\displaystyle{ k}\).
Potęgi dwójki powstają następująco
\(\displaystyle{ 4\cdot2^t,}\) \(\displaystyle{ t=1,2,\ldots}\)
Potęgi dwójki powstają następująco
\(\displaystyle{ 4\cdot2^t,}\) \(\displaystyle{ t=1,2,\ldots}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Bliskie podzielniki
Istotnie. Możne jeszcze zajmować się uogólnieniem problemu: istnienie kolejnych dzielników różniących się o \(\displaystyle{ q >1}\) .