[średnie liczbowe] kilka dowodów

[sou4]

[Nie wiedziałem, gdzie umieścic temat... Jeśli wybrałem niewłaściy dział, to z góry przepraszam, ale w moim podręczniku średnie są w dziale 'zbiory'...]

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, prawdziwe jest:

\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+1/a+1/b+1/c \geq2(a+b+c)\\

a^2+b^2 \geq2(a+b-1)\\

a^2+b^2+1\geq ab+a+b}\)


2. Wykaż, że wszystkie dodatnie liczby a i b spełniajace równanie a+b=1, spełniają:

\(\displaystyle{ a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}\\
a^3+b^3 \geq \frac{1}{4}\\
a^4+b^4\geq \frac{1}{8}}\)




Z góry dziękuje za pomoc

[Marzec91]

Odnośnie 2 nierówności
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\geqslant2(a+b-1)

(a^{2}-2a+1)+(b^{2}-2b+1)\geqslant0

(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geqslant0}\)

[Sylwek]

Odnośnie zadania drugiego zrobię tylko ostatni przykład. Przekształćmy tezę równoważnie:
\(\displaystyle{ a^4+b^4 q \frac{1}{8} \\ \frac{a^4+b^4}{2} q \frac{1}{16} \\ \sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}} q \frac{1}{2}}\)

Korzystając z nierówności między średnią potęgową a arytmetyczną:
\(\displaystyle{ L_{T}=\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}} q \frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}=P_{T}}\)

Co kończy dowód, poprzednie przykłady analogicznie

[Tomasz Rużycki]

Dla dowodu pierwszej nierownosci z 1. zadania zauwaz, ze na mocy AM-GM mamy \(\displaystyle{ a^3+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{a^3\cdot\frac{1}{a}} = 2a}\), zastosuj to dla b i c i dodaj stronami.

Co do trzeciej - tez srednie, ale to juz sam pokombinuj, co by tu porownac.

[Marzec91]

Trzecia nierówność(po przemnożeniu przez 2)
\(\displaystyle{ 2a^{2}+2b^{2}+2\geqslant 2ab+2a+2b}\)

Grupujemy jak w poprzednich przykładach...

\(\displaystyle{ (a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geqslant 0}\)