Równanie całkowitoliczbowe;

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać równanie (w liczbach całkowitych) \(\displaystyle{ (x^2+1)(y^2+1)+ 2(x-y)(1-xy) = 4(1+xy). }\)

[Gouranga]

ciężko mi od ręki stwierdzić czy to podejście do czegoś doprowadzi, bo musiałbym to rozpisać, ale można spróbować skorzystać z podstawienia y = kx, przerzucić wszystko na jedną stronę, rozwiązać w x i potem dobrać odpowiednie k

[JHN]

\(w(x,y)=(x^2+1)(y^2+1)+ 2(x-y)(1-xy) - 4(1+xy)=\\ \quad =x^2y^2+2xy(y-x)+(y^2-2xy+x^2)-2xy-2y+2x-3=\\
\quad=(xy+y-x)^2-2(xy+y-x)-3=(xy+y-x+1)(xy+y-x-3)\\ w(x,y)=0\iff [(x+1)(y-1)=-2\vee (x+1)(y-1)=2]\\ \\ x,y\in\mathbb{Z}\Rightarrow (x,y)\in\{(-3,2),(-2,3),(0,-1),(1,0),(-3,0),(-2,-1),(0,3),(1,2)\} \)

Pozdrawiam

[arek1357]

Można jeszcze inaczej:

Po wyliczeniu igreków stosując równanie kwadratowe otrzymamy dwie gałęzie krzywej:

\(\displaystyle{ y_{1}= \frac{(x+1)^2- \sqrt{(x+1)^4-(x-1)^2(x^2+2x-3)} }{(x-1)^2} }\)

\(\displaystyle{ y_{2}= \frac{(x+1)^2+ \sqrt{(x+1)^4-(x-1)^2(x^2+2x-3)} }{(x-1)^2} }\)

oczywiście zakładamy, że:\(\displaystyle{ x \neq 1}\)

te funkcje mają znaczenie gdy:

\(\displaystyle{ (x+1)^4-(x-1)^2(x^2+2x-3) \ge 0}\)

a to spełnione jest dla:

\(\displaystyle{ x \ge \approx -3,4}\)

Ze względu na kształt funkcji: \(\displaystyle{ y_{1} i y_{2}}\) , oraz to, że:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} y_{1} =\lim_{x\to\infty} y_{2}=1}\) jedna naciska od góry druga od dołu...

\(\displaystyle{ y_{1} }\) od dołu , \(\displaystyle{ y_{2} }\) od góry

Więc jak widać dla funkcji:

\(\displaystyle{ y_{1}}\) wystarczy badać istnienie całkowitych wyników dla:

\(\displaystyle{ x=-3,-2,-1,0}\)

a dla funkcji \(\displaystyle{ y_{2}}\), która "naciska" od góry na jedynkę wystarczy badać dotąd aż:

\(\displaystyle{ y_{2} \ge 2}\)

spełnia co łatwo wykonać dla:

\(\displaystyle{ x<7+2 \sqrt{13} \approx 14,2 }\)

Po rozwiązaniu tej nierówności i rozpoczęciu od \(\displaystyle{ x=-3}\) otrzymamy potencjalne rozwiązania całkowite równania dla:

\(\displaystyle{ x=-3,-2,-1,0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}\)

Oczywiście zostaje nam jeszcze punkt szczególny:

\(\displaystyle{ x=1}\)

ale tu będzie: \(\displaystyle{ y=0}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ (1,0)}\)


I dalej sprawdzać dla tych podejrzanych...

[Brombal]

Wygląda na to, że rozwiązania równania leżą na okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ (-1,1)}\) o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{20} }\).