Mając dane ułamki \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) i \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\) (gdzie \(\displaystyle{ a, b, e, f}\) to liczby naturalne) definiuje się ich medianę \(\displaystyle{ \frac{c}{d}}\) jako \(\displaystyle{ \frac{a+e}{b+f}}\) (ułamek nieskracalny). I można wtedy skontruować trójkę \(\displaystyle{ (\frac{a}{b}, \frac{c}{d} , \frac{e}{f})}\). Następną trójkę otrzymuje się usuwając skrajny element (tj. \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\)) i zastępując go medianą pozostałych elementów. itd.
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0< q < 1}\) (\(\displaystyle{ q \in Q}\) ) to mając daną trójkę \(\displaystyle{ (\frac{0}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{1})}\) można skonstruować z niej, w sposób jak wyżej trójkę, w której \(\displaystyle{ q}\) jest środkowym elementem.
mol_ksiazkowy pisze: ↑7 lis 2021, o 20:00
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0< q < 1}\) (\(\displaystyle{ q \in Q}\) ) to mając daną trójkę \(\displaystyle{ (\frac{0}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{1})}\) można skonstruować z niej, w sposób jak wyżej trójkę, w której \(\displaystyle{ q}\) jest środkowym elementem.
Czy przy takiej konstrukcji:
mol_ksiazkowy pisze: ↑7 lis 2021, o 20:00
(...) Następną trójkę otrzymuje się usuwając skrajny element (tj. \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\)) i zastępując go medianą pozostałych elementów. itd.
Jak widać produkcja w kroku \(\displaystyle{ n+1}\) - odbywa się tak z kroku \(\displaystyle{ n}\) tego, że produkujemy tylko te ułamki, których mianownik jest mniejszy lub równy od \(\displaystyle{ n+1}\)...
Oczywiście generuje nam to wszystkie ułamki właściwe...
Ułamki są po kolei i każdy następny jest większy od poprzedniego, wszystkie są nieskracalne...
środkowy element nie pozostaje ciągle taki sam?
Tak pozostaje zawsze taki sam bo jest to: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oprócz pierwszego kroku...
Mając dane ułamki \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) i \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\) (gdzie \(\displaystyle{ a, b, e, f}\) to liczby naturalne) definiuje się ich medianę \(\displaystyle{ \frac{c}{d}}\) jako \(\displaystyle{ \frac{a+e}{b+f}}\) (ułamek nieskracalny). I można wtedy skontruować trójkę \(\displaystyle{ (\frac{a}{b}, \frac{c}{d} , \frac{e}{f})}\). Następną trójkę otrzymuje się usuwając skrajny element (tj. \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\)) i zastępując go medianą pozostałych elementów. itd. 
