Mając dane ułamki \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) i \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\) (gdzie \(\displaystyle{ a, b, e, f}\) to liczby naturalne) definiuje się ich medianę \(\displaystyle{ \frac{c}{d}}\) jako \(\displaystyle{ \frac{a+e}{b+f}}\) (ułamek nieskracalny). I można wtedy skontruować trójkę \(\displaystyle{ (\frac{a}{b}, \frac{c}{d} , \frac{e}{f})}\). Następną trójkę otrzymuje się usuwając skrajny element (tj. \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\)) i zastępując go medianą pozostałych elementów. itd.
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0< q < 1}\) (\(\displaystyle{ q \in Q}\) ) to mając daną trójkę \(\displaystyle{ (\frac{0}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{1})}\) można skonstruować z niej, w sposób jak wyżej trójkę, w której \(\displaystyle{ q}\) jest środkowym elementem.
Trójki z medianą
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Trójki z medianą
Czy przy takiej konstrukcji:mol_ksiazkowy pisze: ↑7 lis 2021, o 20:00 Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0< q < 1}\) (\(\displaystyle{ q \in Q}\) ) to mając daną trójkę \(\displaystyle{ (\frac{0}{1}, \frac{1}{2} , \frac{1}{1})}\) można skonstruować z niej, w sposób jak wyżej trójkę, w której \(\displaystyle{ q}\) jest środkowym elementem.
środkowy element nie pozostaje ciągle taki sam?mol_ksiazkowy pisze: ↑7 lis 2021, o 20:00 (...) Następną trójkę otrzymuje się usuwając skrajny element (tj. \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{e}{f}}\)) i zastępując go medianą pozostałych elementów. itd.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Trójki z medianą
Szkic to dość proste:
W pierwszym kroku mamy:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{1} }\)
Drugi krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{2} ,\frac{1}{1} }\)
Trzeci krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{3} , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} ,\frac{1}{1} }\)
Czwarty krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{4} , \frac{1}{3}, \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4}, \frac{1}{1} }\)
Piąty krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{5}, \frac{1}{4} , \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2} , \frac{3}{5} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{1} }\)
Itd...
Jak widać produkcja w kroku \(\displaystyle{ n+1}\) - odbywa się tak z kroku \(\displaystyle{ n}\) tego, że produkujemy tylko te ułamki, których mianownik jest mniejszy lub równy od \(\displaystyle{ n+1}\)...
Oczywiście generuje nam to wszystkie ułamki właściwe...
Ułamki są po kolei i każdy następny jest większy od poprzedniego, wszystkie są nieskracalne...
W pierwszym kroku mamy:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{1} }\)
Drugi krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{2} ,\frac{1}{1} }\)
Trzeci krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{3} , \frac{1}{2} , \frac{2}{3} ,\frac{1}{1} }\)
Czwarty krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{4} , \frac{1}{3}, \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4}, \frac{1}{1} }\)
Piąty krok:
\(\displaystyle{ \frac{0}{1} , \frac{1}{5}, \frac{1}{4} , \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2} , \frac{3}{5} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{1} }\)
Itd...
Jak widać produkcja w kroku \(\displaystyle{ n+1}\) - odbywa się tak z kroku \(\displaystyle{ n}\) tego, że produkujemy tylko te ułamki, których mianownik jest mniejszy lub równy od \(\displaystyle{ n+1}\)...
Oczywiście generuje nam to wszystkie ułamki właściwe...
Ułamki są po kolei i każdy następny jest większy od poprzedniego, wszystkie są nieskracalne...
Tak pozostaje zawsze taki sam bo jest to: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oprócz pierwszego kroku...środkowy element nie pozostaje ciągle taki sam?
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Trójki z medianą
A nie mieliśmy konstruować trójek?
Ja konstrukcję zrozumiałem tak:
Krok 0: \(\displaystyle{ \frac{0}{1}, \frac{1}{1}}\)
Krok 1: \(\displaystyle{ \frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}}\)
Krok 2: \(\displaystyle{ \frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}}\)
...
Ja konstrukcję zrozumiałem tak:
Krok 0: \(\displaystyle{ \frac{0}{1}, \frac{1}{1}}\)
Krok 1: \(\displaystyle{ \frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}}\)
Krok 2: \(\displaystyle{ \frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}}\)
...