Jeśli \(\displaystyle{ p }\) jest liczbą pierwszą Sophie Germain, tj. taką, że \(\displaystyle{ 2p+1}\) też jest pierwsza; to dla \(\displaystyle{ n=4p}\) :
(*) \(\displaystyle{ \phi(n+2)= \phi(n)+ 2}\).
Na odwrót jeśli (*) to czy wtedy \(\displaystyle{ n}\) jest jak powyżej.
Jeśli nie to wskazać inne rozwiązania (*).
Sophie Germain i Euler
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Sophie Germain i Euler
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą Sophie Germain. Wówczas \(\displaystyle{ 4p + 2 = 2(2p+1)}\) ma dwa dzielniki pierwsze, bo \(\displaystyle{ 2p+1}\) jest pierwsza.
\(\displaystyle{ \phi(4p + 2) = (4p+2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2p}{2p+1} = 2p.}\)
Natomiast liczba \(\displaystyle{ 4p}\) ma rozkład \(\displaystyle{ 2^2 \cdot p.}\)
\(\displaystyle{ \phi(4p) = 4p \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{p-1}{p} = 2(p-1) = 2p - 2.}\)
Odejmując równania stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \phi(4p+2) - \phi(4p) = 2}\)
\(\displaystyle{ \phi(4p+2) = \phi(4p) + 2.}\)
Koniec pierwszej części zadania.
W drugiej części wystarczy zauważyć \(\displaystyle{ \phi(7) = \phi(5) + 2.}\)
Po tym przykładzie odpowiedź na kolejne pytania narzuca się sama: Innymi rozwiązaniami tego równania są liczby pierwsze bliźniacze.
\(\displaystyle{ \phi(4p + 2) = (4p+2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2p}{2p+1} = 2p.}\)
Natomiast liczba \(\displaystyle{ 4p}\) ma rozkład \(\displaystyle{ 2^2 \cdot p.}\)
\(\displaystyle{ \phi(4p) = 4p \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{p-1}{p} = 2(p-1) = 2p - 2.}\)
Odejmując równania stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \phi(4p+2) - \phi(4p) = 2}\)
\(\displaystyle{ \phi(4p+2) = \phi(4p) + 2.}\)
Koniec pierwszej części zadania.
W drugiej części wystarczy zauważyć \(\displaystyle{ \phi(7) = \phi(5) + 2.}\)
Po tym przykładzie odpowiedź na kolejne pytania narzuca się sama: Innymi rozwiązaniami tego równania są liczby pierwsze bliźniacze.