Uwaga do hipotezy Goldbacha

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Straczynski »

Witam. Sam Euler miał stwierdzić:

"To, że każda parzysta liczba całkowita jest sumą dwóch liczb pierwszych, uważam za całkowicie pewne twierdzenie, chociaż nie mogę tego udowodnić."*

*Euler i Goldbach uważali \(\displaystyle{ 1}\) za liczbę pierwszą. Oczywiście temat dotyczy rozważań dla współczesnego ujęcia problemu.

Jestem świadomy, że wobec powyższego realny atak na hipotezę jest poza zasięgiem :wink: ale mimo to interesuje się tą hipotezą. Zastanawiałem się nad przekształceniem hipotezy tj. innymi hipotezami które ona implikuje. Przy użyciu prostych przekształceń można iść różnymi drogami, chciałby przedstawić jedną z nich (zapewne nie jest to żadna nowa droga ale niewiele jest na tym forum o HG więc stwierdziłem, że nie zaszkodzi).

Wiem, że to co tu napiszę jest oczywiste dla wielu osób stąd, ale być może jest dla nich oczywiste również coś więcej niż to co tu napiszę i będą w stanie coś dodać.

1. Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem arytmetyki; każdą naturalną większą od \(\displaystyle{ 1}\) która nie jest pierwsza można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Dodajemy, że jest to unikalny iloczyn liczb dla każdej takiej naturalnej.

2. Wiadomo, że każdy iloczyn można przedstawić jako sumę np:

\(\displaystyle{ xyz = \sum_{}^{x} \sum_{}^{y}z }\)

Mam nadzieję, że wiadomo o co chodzi. Nie umiem tak zrobić, żeby ta pierwsza wielka sigma była większa od kolejnej. Mam na myśli przedstawienie iloczynu jako sumy sum.

3. HG dotyczy liczb parzystych czyli przynajmniej jednym czynnikiem pierwszym takiej liczby jest \(\displaystyle{ 2}\). Tu \(\displaystyle{ x = 2}\).

4. Mnożenie jest przemienne więc iloczyn można przedstawić jako sumę sum na liczbę sposobów równą silni z mocy zbioru czynników pierwszych (permutacja). Czyli (przykładowo dla trzech czynników):

\(\displaystyle{ C_{p} = \left\{ x,y,z\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left| C_{p}\right| = 3}\)

\(\displaystyle{ 3! = 6}\)

\(\displaystyle{ xyz = \sum_{}^{x} \sum_{}^{y}z = \sum_{}^{x} \sum_{}^{z}y = \sum_{}^{y} \sum_{}^{x}z = \sum_{}^{y} \sum_{}^{z}x = \sum_{}^{z} \sum_{}^{x}y = \sum_{}^{z} \sum_{}^{y}x }\)

5. Dodatkowo każda ww. wariacja ma swoje (brak słowa) "podwariacje". Przykładowo dla \(\displaystyle{ x = 2}\) sumę sum można przedstawić jako:

\(\displaystyle{ a = xyz = \sum_{}^{x} \sum_{}^{y}z = \left( \sum_{}^{y}z\right) + \left( \sum_{}^{z}y\right)}\)

Przykładowo:

\(\displaystyle{ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = \sum_{}^{2} \sum_{}^{3}5 = \left( 5+5+5\right) + \left( 5+5+5\right) = \left( 3+3+3+3+3\right) + \left( 5+5+5\right) }\)

6. Oznacza to, że przy zmianie czynników pierwszych na sumę, musimy wybrać jeden czynnik pierwszy który nie będzie miał właściwości "wewnętrznej" przemienności opisanej w punkcie 5. Mówiąc prosto, ze wszystkich czynników pierwszych jeden określa ilość tych nawiasów (w pkt. 5 rozpiska jest dla \(\displaystyle{ x=2}\) wybrałem ten czynnik dlatego w równaniu mamy dwie pary nawiasów. W praktyce oznacza to, że jeden wybrany czynnik pierwszy nie będzie mógł być składnikiem sumy a jedynie jej "parametrem ilościowym (mnożnym)" (użyty termin nie jest ściśle matematyczny).

7. Istotnym problemem jest to, jak obliczyć ilość wszystkich możliwych kombinacji składników dla podanej metody tak aby nie dublowały się z uwagi na przemienność dodawania. Ja obliczyłem, że dla podanego przykładu \(\displaystyle{ xyz = 3 \cdot 5 \cdot 7 }\) to \(\displaystyle{ 13}\):

Jeśli "wybranym czynnikiem" jest \(\displaystyle{ 2}\) to mamy \(\displaystyle{ 3}\) możliwości:
1) same trójki,
2) same piątki,
3) trójki i piątki.

Jeśli "wybranym czynnikiem" jest \(\displaystyle{ 3}\) to mamy \(\displaystyle{ 4}\) możliwości:
1) same dwójki
2) same piątki
3) dwójki, dwójki, piątki
4 dwójki, piątki, piątki

Jeśli "wybranym czynnikiem" jest \(\displaystyle{ 5}\) to mamy \(\displaystyle{ 6}\) możliwości:
1) same trójki
2 same dwójki
3) 4 x dójki, trójki
4) 3 x dwójki, 2 x trójki
5) 2 x dwójki, 3 x trójki
6) 1 x dwójki, 4 x trójki

\(\displaystyle{ 3 + 4 + 6 = 13}\) - oczywiście obecność tylko 3 czynników pierwszych znacznie upraszcza obliczenia. Metoda wielokrotnie komplikuje się przy ich większej ilości.

8. Taka rozpiska składników (wg. danej ilości danych składników) jest istotna bo z nich, przy założeniu hipotezy powinno się dać zsumować 2 liczby pierwsze do których można sprowadzić sumę. Czynnik \(\displaystyle{ 2}\) może być niezwykle użyteczny dlatego na logikę lepiej byłoby nie wybierać go do "pierwszej sigmy" sumy sum.

Przykładowo:

dla \(\displaystyle{ 30 = \sum_{}^{3} \sum_{}^{2}5 = \left( \sum_{}^{2} 5\right) + \left( \sum_{}^{2} 5\right) + \left( \sum_{}^{5} 2\right) }\)

\(\displaystyle{ 30 = (\green{5}+5) + (5+5) + (\green{2}+2+2+2+2) = 7 + 23\\
30 = (\green{5}+5) + (5+5) + (\green{2}+\green{2}+\green{2}+2+2) = 11 + 19\\
30 = (\green{5}+5) + (5+5) + (\green{2}+\green{2}+\green{2}+\green{2}+2) = 13 + 17}\)


9. Jeśli jest gdzieś błąd proszę o poprawkę. Jeśli, można usprawnić zapis matematyczny też. Jeśli przejścia z pkt. do pkt. nie są jasne też prośba uwagę. Wiem, że to bardzo proste dodawanie w sumie..., ale zależało mi na tym, by je implikować z fundamentalnego twierdzenia w odniesieniu do hipotezy. Myślę, że można znaleźć powiązanie między czynnikami pierwszymi liczby a pierwszymi tworzącymi sumę.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2021, o 20:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: LaTeX też ma kolory...
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: matmatmm »

Szczerze mówiąc nie widzę tutaj bezpośredniego związku z hipotezą tzn. punkt 8 jest dla mnie niejasny. Widzę jedynie ciekawy problem kombinatoryczny, chociaż rozwiązanie dla dowolnego iloczynu liczb (niekoniecznie pierwszych) może okazać się niewykonalne w postaci jawnego wzoru.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Straczynski »

Właśnie nie udało mi się tego "zaimplikować". W praktyce stworzyłem kolejną hipotezę (nie wiem czy oderwaną czy "implikowalną" z fundamentalnego twierdzenia arytmetyki). Jest ona szerasza i być może założenie hipotezy Goldbacha z niej wynika:

"Liczbę złożoną, można przedstawić jako sumę takich liczb pierwszych jakie można zsumować ze składników jakie powstają po przekształceniu iloczynu czynników pierwszych (tej złożonej) na sumę i tylu liczb pierwszych ile wynosi jej (złożonej) najmniejszy czynnik pierwszy"

Wiem, że to brzmi niejasno dlatego po prostu posłużę się przykładem. Weźmy liczbę nieparzystą:

\(\displaystyle{ 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5}\)

Zgodnie z powyższym założeniem, liczbę tą można przedstawić jako sumę minimum trzech liczb pierwszych które są sumą składników sumy sum (iloczynu czynników pierwszych).

Oto wariacja która na to pozwala:

\(\displaystyle{ 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = \sum_{}^{3} \sum_{}^{3} 5}\)

\(\displaystyle{ \sum_{}^{3} \sum_{}^{3} 5 = \left( \sum_{}^{5} 3\right) + \left( \sum_{}^{5} 3\right) + \left( \sum_{}^{3} 5\right) = (3+3+3+3+3) + (3+3+3+3+3) + (5+5+5) = 11 + 11 + 23}\)

Jeśli ta hipoteza jest prawdziwa to HG też jest prawdziwa, bo najmniejszym czynnikiem pierwszym liczb parzystych jest \(\displaystyle{ 2}\). Oczywiście \(\displaystyle{ 45}\) można przedstawić też jako sumę dwóch liczb pierwszych \(\displaystyle{ 43 + 2}\) ale one nie są wariacją iloczynu czynników pierwszych jako sumy sum.

Właśnie na tym ma polegać związek z HG :|
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Brombal »

Z przekory
Hipoteza Brombala
Każdą liczbę parzystą całkowitą da się przedstawić jako różnicę dwóch liczb pierwszych. ;).
Nie widzę powodu dla którego Hipoteza Goldbacha miałaby być prawdziwa. Pozostaje znaleźć odpowiednią liczbę.
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2021, o 19:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Straczynski »

Brombal pisze: 8 wrz 2021, o 19:10 Z przekory
Hipoteza Brombala
Każdą liczbę parzystą całkowitą da się przedstawić jako różnicę dwóch liczb pierwszych. .
Próbowałem przekształcić równania zakładające hipotezę Goldbacha do tej formy którą podałeś ale nie udało mi się. Potrafiłbyś?
Brombal pisze: 8 wrz 2021, o 19:10 Nie widzę powodu dla którego Hipoteza Goldbacha miałaby być prawdziwa. Pozostaje znaleźć odpowiednią liczbę.
Myślę że hipoteza jest w pewien sposób umocniona: liczb pierwszych jest nieskończona ilość, dowiedziono postulatu Bertranda, HG implikuje, że każda naturalna \(\displaystyle{ \ge 2}\) jest średnią arytmetyczną liczb pierwszych.

Jeśli \(\displaystyle{ a \in N}\), \(\displaystyle{ a \ge 2}\) to w przedziale \(\displaystyle{ \left( 1;a \right)}\) mamy tyle samo / więcej liczb pierwszych niż w przedziale \(\displaystyle{ \left( a;2a-1 \right\rangle }\) w którym jest przynajmniej jedna liczba pierwsza. Jakby spojrzeć na te przedziały liczb jak na zbiory, to średnia arytmetyczna ich "przeciwległych" (pierwszy z jednego zbioru i ostatni z drugiego etc.) elementów daje nam naszą \(\displaystyle{ a}\) i mamy pewność, że w równaniach tych są liczby pierwsze... (z HG wynika, że liczba pierwsza z "lewej strony" osi liczb przedzielonej liczbą \(\displaystyle{ a}\) zawsze musiałaby "spotykać" jakąś z "prawej strony").
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Brombal »

Patrząc ilościowo, "hipoteza Brombala" jest ilościowo mocniejsza od hipotezy Goldbacha.
Dla zadanego \(\displaystyle{ N}\) liczb pierwszych do dyspozycji Goldbach ma skończoną liczbę a Brombal nie ma takiego ograniczenia.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Straczynski »

Poprawka do pierwszego posta, nie wiem jak to się wkradło zamiast \(\displaystyle{ 3 \cdot 5 \cdot 7}\) chodzi o \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5}\) w pkt 7.
matmatmm pisze: 7 wrz 2021, o 21:14 Szczerze mówiąc nie widzę tutaj bezpośredniego związku z hipotezą tzn. punkt 8 jest dla mnie niejasny. Widzę jedynie ciekawy problem kombinatoryczny, chociaż rozwiązanie dla dowolnego iloczynu liczb (niekoniecznie pierwszych) może okazać się niewykonalne w postaci jawnego wzoru.
Chciałbym jeszcze wyjaśnić ten 8 punkt jeśli jest niejasny. Skoro liczba złożona ma czynniki pierwsze to ma też składniki pierwsze (bo iloczyn może być przedstawiony jak suma w ramach wielu wariacji). A HG jakby nie było dotyczy właśnie składników pierwszych. Uznałem więc, że związek jest.
Brombal pisze: 10 wrz 2021, o 07:14 Patrząc ilościowo, "hipoteza Brombala" jest ilościowo mocniejsza od hipotezy Goldbacha.
Dla zadanego \(\displaystyle{ N}\) liczb pierwszych do dyspozycji Goldbach ma skończoną liczbę a Brombal nie ma takiego ograniczenia.
No właśnie, czyli dla danej parzystej warunek z HG zachodzi lokalnie w ramach bardzo ograniczonego przedziału liczb. Jeśli pierwsze wyznacza algorytm Eratostenesa (dość prosty de facto) to czemu zjawisko sumy / średniej miałoby być nagle przerwane dla dużych liczb? Przecież dla działania algorytmu Eratostenesa wielkość liczb nie ma znaczenia. Jakie zjawisko miałoby tworzyć jakiś punkt graniczny na osi liczb od którego HG nagle zawodzi skoro układ pierwszych jest zgodny z sitem i HG działa tak daleko jak sięgają moce obliczeniowe komputerów.

Takie sytuacje mogą wynikać gdy jakiś mechanizm przyjęty jako dokładny ma jakąś niedokładność która ujawnia się przy większych wartościach. Coś jak zegar który myli się o sekundę raz na 100 lat.

Wiadomo żaden dowód w jedną lub w drugą stronę. Nie chce tutaj bredzić o intuicji ale chodzi o konkretne rozważanie - jeśli (hipotetycznie) istnieje liczba nie spełniająca HG, to co jeszcze musiałoby ją cechować oprócz założenia, że nie spełnia HG? Jeśli hipotetycznie "wystarczy znaleźć liczbę" to uważam, że taka liczba musiałaby mieć jakiś przedziwny układ czynników pierwszych.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Brombal »

Zrobiłem pewne badanie "statystyczne" dotyczące liczb parzystych przedstawionych jako różnica liczb pierwszych.
Sprawdziłem to w zakresie do \(\displaystyle{ 10^9}\). (W niewielkiej nadziei, że znajdę jakieś dziury w liczbach parzystych). Dziur nie znalazłem, ale wyniki są intrygujące.
Dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p>2}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) naturalnej, liczba \(\displaystyle{ p+k\cdot 30}\) jest ponad \(\displaystyle{ 3x}\) częściej liczbą pierwszą niż liczba w postaci \(\displaystyle{ p+2^k}\).

Dodano po 16 minutach 25 sekundach:
Być może liczb "obalających" HG należy szukać dla liczb w postaci \(\displaystyle{ 2^n}\)
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2021, o 21:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Straczynski »

Brombal pisze: 11 wrz 2021, o 16:47 Zrobiłem pewne badanie "statystyczne" dotyczące liczb parzystych przedstawionych jako różnica liczb pierwszych.
Sprawdziłem to w zakresie do \(\displaystyle{ 10^9}\). (W niewielkiej nadziei, że znajdę jakieś dziury w liczbach parzystych). Dziur nie znalazłem, ale wyniki są intrygujące.
Dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p>2}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) naturalnej, liczba \(\displaystyle{ p+k\cdot 30}\) jest ponad \(\displaystyle{ 3x}\) częściej liczbą pierwszą niż liczba w postaci \(\displaystyle{ p+2^k}\).

Dodano po 16 minutach 25 sekundach:
Być może liczb "obalających" HG należy szukać dla liczb w postaci \(\displaystyle{ 2^n}\)
Dla danych \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ k}\) wyniki \(\displaystyle{ p+2^k}\) szybko stają się znacznie wyższe od \(\displaystyle{ p+k\cdot 30}\) więc z tego powodu liczby pierwsze mogą być tam rzadziej.

Chciałbym przedstawić kolejny przykład odnośnie mojej hipotezy. Liczyłem na to, że przypadkiem ją obalę ale pierwsza wariacja na którą trafiłem pasowała i łatwo uzyskałem liczbę pierwszą. Użyję nieco skróconego zapisu pod koniec równania, mam nadzieję, że będzie wiadomo skąd się wziął taki zapis:

\(\displaystyle{ 2639 = 7 \cdot 13 \cdot 29 = \sum_{}^{7} \sum_{}^{13}29 = \left( \sum_{}^{13}29\right) + 6 \left( \sum_{}^{29}13\right) = 6\left( 29+29+13\right) + \left( 29+168 \cdot 13\right) = \left( 6 \cdot 71\right) +2213}\)

W praktyce zrobiłem to tak, że ulepiłem jakąś możliwie najmniejszą liczbę pierwszą ze składników \(\displaystyle{ 29}\) i \(\displaystyle{ 13}\) czyli \(\displaystyle{ 71}\), zrobiłem z tej liczby sześć z siedmiu składników a siódmy składnik zawiera sumę wszystkich pozostałych, niewykorzystanych składników pierwszych i ta dam \(\displaystyle{ 2213}\) jest pierwsza :D

Oczywiście moja hipoteza ma zastosowanie kiedy czynniki pierwsze się różnią bo liczby złożone postaci \(\displaystyle{ p^{n}}\) nie zadziałają (nie zsumuję pierwszej z jednego dostępnego składnika pierwszego). Więc w treści hipotezy trzeba by uwzględnić te wyjątki.

Btw:

\(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 31 = 19375}\)

Najmniejsza pierwsza z piątek i \(\displaystyle{ 31}\) to \(\displaystyle{ 5 + 5 + 31 = 41}\) robimy z tego cztery z pięciu składników...

\(\displaystyle{ 19375 - \left( 4 \cdot 41\right) = 19211}\)

\(\displaystyle{ 19211}\) jest pierwsza :D łuuu generator liczb pierwszych.
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2021, o 15:26 przez Straczynski, łącznie zmieniany 3 razy.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Brombal »

Odnośnie ustalonych \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ k}\).
Najmniej często spełniony jest warunek \(\displaystyle{ p_1=p+2^5}\).
\(\displaystyle{ p_1=p+1 \cdot 30}\) jest spełniony ponad \(\displaystyle{ 3x}\) częściej.
Straczynski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 maja 2019, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: południe
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Straczynski »

Oczywiście nie twierdzę, że przedstawiony sposób wyszukiwania wariacji zawsze działa, tylko że jest przynajmniej jedna wariacja która pozwala na stworzenie takiej sumy pierwszych.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Uwaga do hipotezy Goldbacha

Post autor: Brombal »

Inne spojrzenie na HG. (przynajmniej tak mi się wydaje). Wyobraźmy sobie taśmę o długości parzystej \(\displaystyle{ N}\) z zaznaczonymi punktami (otworami) w miejscach liczb pierwszych.
Składamy taśmę (oś liczbową) na pół i wszystkie pokrywające się punkty (otwory) są rozwiązaniami spełniającymi HG.
ODPOWIEDZ