Rozkład

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ 7^{7^n}+1 }\) jest iloczynem co najmniej \(\displaystyle{ 2n+3}\) liczb pierwszych (niekoniecznie różnych)

[Brombal]

Próbowałem przedstawić to w postaci kolejnych iloczynów wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a _{0} =42}\), \(\displaystyle{ a _{n+1} = 7 \cdot a _{n} +6}\) ale nieco się skomplikowało.
Przyrost wartości wyrażenia dla kolejnych \(\displaystyle{ n}\) jest bardzo szybki.
Być może pomocne w rozwiązaniu zagadnienia będą wnioski z obliczenia pierwszych trzech wyrazów.
\(\displaystyle{ 8|7^{7^1}|7^{7^2}|7^{7^3}}\). Nie wiem czy prawidłowo napisałem. \(\displaystyle{ 8}\) dzieli bez reszty wyraz \(\displaystyle{ 7^{7^1}}\), wyraz \(\displaystyle{ 7^{7^1}}\) dzieli bez reszty \(\displaystyle{ 7^{7^2}}\), \(\displaystyle{ 7^{7^2}}\) dzieli bez reszty \(\displaystyle{ 7^{7^3}}\)

\(\displaystyle{ 7 ^{7 ^{1} } =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 113 \cdot 911}\)
\(\displaystyle{ 7 ^{7 ^{2} } =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 113 \cdot 197 \cdot 883 \cdot 911 \cdot 3823 \cdot 161309 \cdot 1445599 \cdot 19847549 \cdot 101361401}\)
\(\displaystyle{ 7 ^{7 ^{3} } =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 113 \cdot 197 \cdot 883 \cdot 911 \cdot 3823 \cdot 161309 \cdot 1445599 \cdot 19847549 \cdot 101361401 \cdot ...}\)

Dodano po 6 godzinach 11 minutach 17 sekundach:
\(\displaystyle{ 7 ^{7 ^{3} } =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 113 \cdot 197 \cdot 883 \cdot 911 \cdot 3823 \cdot 161309 \cdot 1445599 \cdot 19847549 \cdot 32442313 \cdot 101361401 \cdot ...}\)

Dodano po 1 dniu 6 godzinach 53 minutach 2 sekundach:
Źle zapisałem
\(\displaystyle{ 8|7 ^{7^1} +1|7^{7^2}+1|7^{7^3}+1}\)

[Premislav]

Ze znanego wzorku
\(\displaystyle{ a^7+b^7=(a+b)\left(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6\right)}\) mamy
\(\displaystyle{ 7^{7^n}+1=8\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^6(-1)^j7^{(6-j)\cdot 7^{i-1}}}\).
Liczba \(\displaystyle{ 8=2^3}\) daje plus trzy do naszego \(\displaystyle{ 2n+3}\) i wystarczy wykazać, że każda liczba postaci
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^6(-1)^j7^{(6-j)\cdot 7^{i-1}}, \ i\in \NN^+}\) jest złożona.
W tym celu skorzystajmy z tożsamości
\(\displaystyle{ x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=(x+1)^6-7x\left(x^2+x+1\right)^2}\)
i zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x=7^{7^k}, \ k\in \NN}\) pozwala to rozłożyć wyrażenie
\(\displaystyle{ x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1}\) na czynniki dzięki wzorowi na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ \left(7^{7^k}+1\right)^6-7^{7^k+1}\left(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\right)^2\\=\left(\left(7^{7^k}+1\right)^3+7^{\frac{7^k+1}{2}}\cdot \left(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\right)\right)\left(\left(7^{7^k}+1\right)^3-7^{\frac{7^k+1}{2}}\cdot \left(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\right)\right)}\)
i wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ k=i-1, \ i=1,2\ldots}\).
Łatwo widać, że oba czynniki są większe od \(\displaystyle{ 1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\), co kończy dowód:
mamy iloczyn ósemki i \(\displaystyle{ n}\) złożonych czynników.

[Elayne]

Wskazówka:
Sierpiński - liczby pierwsze formy \(\displaystyle{ n^n+1}\).