Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją Collatza, jeśli istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ m}\) oraz dodatnie liczby wymierne \(\displaystyle{ a_{i}, b_{i} : i < m}\), takie, że zawsze, gdy \(\displaystyle{ x \equiv i \mod m}\), to \(\displaystyle{ g(x) = a_{i} \cdot x + b_{i}}\) jest liczbą całkowitą.
Ta definicja wyczerpuje definicję ciągów Collatza, jeśli dobrze rozumiem, tylko gdy \(\displaystyle{ i}\) numerujemy od zera, wtedy definicja ciągu Collatza (wersja "1,5x+0,5"), wygląda tak:
\(\displaystyle{ m=2}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=0,5}\)
\(\displaystyle{ b_{0}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=1,5}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=0,5}\)
Zgadza się? Czy dobrze rozumiem tę definicję? Oczywiście możemy wprowadzić kolejne \(\displaystyle{ a_{i}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{i}}\), jeśli zwiększymy modulus, ale wtedy nie będzie to już definicja ciągu Collatza.
Dodano po 2 godzinach 9 minutach 10 sekundach:
Temat do zamknięcia. W publikacji, którą wymieniłem "The Undecidability of the Generalized Collatz Problem", autorzy podają dokładnie tę definicję problemu Collatza:
Nie doczytałem, bo też nie jest to poziom publikacji, w które byłbym w stanie wczytywać się ze zrozumieniem.This is a natural generalization: the function \(\displaystyle{ k(x)}\) of the Collatz Problem has this form for \(\displaystyle{ m = 2}\), \(\displaystyle{ a_{0} = \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ b_{0} = 0}\),\(\displaystyle{ a_{1} = 3}\), and \(\displaystyle{ b_{1} = 1}\).