Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ b<a}\)) są liczbami naturalnymi, to \(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{b} \right] }\) jest ilorazem, natomiast \(\displaystyle{ a-\left[ \frac{a}{b} \right]b }\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\).
Czy wystarczy przyjąć, że \(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] }\) i wstawić do wzoru \(\displaystyle{ a=bq+r}\)? Wtedy otrzymamy, że \(\displaystyle{ r=a-\left[ \frac{a}{b} \right]b }\).
Zadanie na dowodzenie
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lip 2021, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
Zadanie na dowodzenie
Ostatnio zmieniony 25 lip 2021, o 21:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zadanie na dowodzenie
A co jeśli przyjmę inaczej? Powiedzmy \(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] + \sqrt{3} }\).biedny_matematyk pisze: ↑25 lip 2021, o 20:47 Czy wystarczy przyjąć, że \(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] }\) i wstawić do wzoru \(\displaystyle{ a=bq+r}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lip 2021, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
Re: Zadanie na dowodzenie
A coś takiego wystarczy?
\(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] }\)
\(\displaystyle{ r=a-bq }\)
\(\displaystyle{ \left| b\right|>r }\)
wtedy:
\(\displaystyle{ q \le \frac{a}{b} <q+1 / \cdot b}\)
\(\displaystyle{ bq \le a<bq+b/-bq }\)
\(\displaystyle{ 0 \le a-bq<b}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r=a-bq<b=\left| b\right| }\) bo \(\displaystyle{ b>0 }\)
\(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] }\)
\(\displaystyle{ r=a-bq }\)
\(\displaystyle{ \left| b\right|>r }\)
wtedy:
\(\displaystyle{ q \le \frac{a}{b} <q+1 / \cdot b}\)
\(\displaystyle{ bq \le a<bq+b/-bq }\)
\(\displaystyle{ 0 \le a-bq<b}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r=a-bq<b=\left| b\right| }\) bo \(\displaystyle{ b>0 }\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zadanie na dowodzenie
To jest ściana znaczków. A na pytanie "czy to wystarczy?" odpowiedz sama przed sobą. Czy czujesz się przekonana? Jeśli ten dowód Cię przekonuje to dobrze, spróbuj więc przekonać innych (ja nie jestem przekonany póki co). A jeśli sama nie jesteś przekonana co do swojego dowodu to znaczy, że coś jest niejasne i wymaga większej uwagi lub gdzieś blefujesz.
Spójrz na to geometrycznie i przemyśl czym jest \(\displaystyle{ \left[ a/b\right] }\). Powiedzmy, że mamy w ręku dwie liczby \(\displaystyle{ a,b\in \NN}\) takie, że \(\displaystyle{ b<a}\). Można je graficznie przedstawić o tak:
\(\displaystyle{ \begin{split}
a&:\red{\bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \dots \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } \\
b &:\blue{ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } \\
q \times b &:\underbrace{\underbrace{\underbrace{\blue{ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet }}_{1 \times b} \ \ \blue{ \bullet \ \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet }}_{2 \times b} \qquad \qquad \dots \qquad \ \ \ \ \ \ \ \, \, \blue{ \bullet \ \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } }_{q \times b}
\end{split}}\)
a&:\red{\bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \dots \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } \\
b &:\blue{ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } \\
q \times b &:\underbrace{\underbrace{\underbrace{\blue{ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet }}_{1 \times b} \ \ \blue{ \bullet \ \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet }}_{2 \times b} \qquad \qquad \dots \qquad \ \ \ \ \ \ \ \, \, \blue{ \bullet \ \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } }_{q \times b}
\end{split}}\)
gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest największa wielokrotnością \(\displaystyle{ b}\) taką, że \(\displaystyle{ qb \le a}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ q\in\NN}\) jest największą liczbą naturalną nie większą niż \(\displaystyle{ a/b}\). A to z definicji znaczka \(\displaystyle{ \left[ \cdot \right] }\) (
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit#Definicja_formalna