Zadanie na dowodzenie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
biedny_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 lip 2021, o 20:35
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Zadanie na dowodzenie

Post autor: biedny_matematyk »

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ b<a}\)) są liczbami naturalnymi, to \(\displaystyle{ \left[ \frac{a}{b} \right] }\) jest ilorazem, natomiast \(\displaystyle{ a-\left[ \frac{a}{b} \right]b }\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\).


Czy wystarczy przyjąć, że \(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] }\) i wstawić do wzoru \(\displaystyle{ a=bq+r}\)? Wtedy otrzymamy, że \(\displaystyle{ r=a-\left[ \frac{a}{b} \right]b }\).
Ostatnio zmieniony 25 lip 2021, o 21:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zadanie na dowodzenie

Post autor: Janusz Tracz »

biedny_matematyk pisze: 25 lip 2021, o 20:47 Czy wystarczy przyjąć, że \(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] }\) i wstawić do wzoru \(\displaystyle{ a=bq+r}\)?
A co jeśli przyjmę inaczej? Powiedzmy \(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] + \sqrt{3} }\).
biedny_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 25 lip 2021, o 20:35
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Re: Zadanie na dowodzenie

Post autor: biedny_matematyk »

A coś takiego wystarczy?
\(\displaystyle{ q=\left[ \frac{a}{b} \right] }\)
\(\displaystyle{ r=a-bq }\)
\(\displaystyle{ \left| b\right|>r }\)
wtedy:
\(\displaystyle{ q \le \frac{a}{b} <q+1 / \cdot b}\)
\(\displaystyle{ bq \le a<bq+b/-bq }\)
\(\displaystyle{ 0 \le a-bq<b}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r=a-bq<b=\left| b\right| }\) bo \(\displaystyle{ b>0 }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zadanie na dowodzenie

Post autor: Janusz Tracz »

biedny_matematyk pisze: 25 lip 2021, o 22:38 A coś takiego wystarczy?
...
To jest ściana znaczków. A na pytanie "czy to wystarczy?" odpowiedz sama przed sobą. Czy czujesz się przekonana? Jeśli ten dowód Cię przekonuje to dobrze, spróbuj więc przekonać innych (ja nie jestem przekonany póki co). A jeśli sama nie jesteś przekonana co do swojego dowodu to znaczy, że coś jest niejasne i wymaga większej uwagi lub gdzieś blefujesz.

Spójrz na to geometrycznie i przemyśl czym jest \(\displaystyle{ \left[ a/b\right] }\). Powiedzmy, że mamy w ręku dwie liczby \(\displaystyle{ a,b\in \NN}\) takie, że \(\displaystyle{ b<a}\). Można je graficznie przedstawić o tak:
\(\displaystyle{ \begin{split}
a&:\red{\bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \dots \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } \\
b &:\blue{ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } \\
q \times b &:\underbrace{\underbrace{\underbrace{\blue{ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet }}_{1 \times b} \ \ \blue{ \bullet \ \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet }}_{2 \times b} \qquad \qquad \dots \qquad \ \ \ \ \ \ \ \, \, \blue{ \bullet \ \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \bullet \ \ \bullet } }_{q \times b}
\end{split}}\)

gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest największa wielokrotnością \(\displaystyle{ b}\) taką, że \(\displaystyle{ qb \le a}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ q\in\NN}\) jest największą liczbą naturalną nie większą niż \(\displaystyle{ a/b}\). A to z definicji znaczka \(\displaystyle{ \left[ \cdot \right] }\) (

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit#Definicja_formalna
) oznacza, że \(\displaystyle{ q=\left[ a/b\right] }\). Na tym rysunku widać też resztę \(\displaystyle{ r}\) z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\) (czerwony pasek długości \(\displaystyle{ a}\) odejmujesz od niebieskiego paska długości \(\displaystyle{ qb}\)). Zatem \(\displaystyle{ r=a-qb}\) czyli faktycznie \(\displaystyle{ r=a-\left[ a/b\right]b}\). Można pokazać dodatkowo, że \(\displaystyle{ r\in\left\{ 0,1,...,b-1\right\} }\). To, że \(\displaystyle{ r\in\NN_{0}}\) wynika wprost z tego, że \(\displaystyle{ r}\) jest różnicą liczb naturalnych oraz, że \(\displaystyle{ a \ge \left[ a/b\right]b}\). Zostało więc do pokazania, że \(\displaystyle{ r \le b-1}\). To jednak wynika z przyjętej definicji dla \(\displaystyle{ q}\). Przypomnę \(\displaystyle{ q}\) to była największa wielokrotność \(\displaystyle{ b}\) taka, że \(\displaystyle{ qb \le a}\). Zatem \(\displaystyle{ a <(q+1)b}\) czyli \(\displaystyle{ a-qb<b}\) co oznacza dokładnie, że \(\displaystyle{ a-[a/b]b \le b-1}\).
ODPOWIEDZ