Jako rozgrzewka i odgrzebanie matematyki wyższej, przeprowadziłem sobie udowodnienie, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} - \sqrt{3} }\) jest niewymierna. Nie jestem jednak pewien, czy rozumowanie jest pełne, lub czy może można dojść do tego prościej - będę wdzięczny za sprawdzenie
No więc idąc ścieżką nie wprost, założmy najpierw, że liczba \(\displaystyle{ x = \sqrt{2} - \sqrt{3} }\) jest liczbą wymierną. Jeśli tak, to jako, że potęgowanie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb wymiernych, to liczba \(\displaystyle{ x^{2} }\) również jest liczbą wymierną (założenie nr 1). Liczbę tę można przedstawić następująco:
\(\displaystyle{ x^{2} = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{6} }\)
Sprawdzimy teraz, czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt{6} }\) jest liczbą wymierną. Zauważmy, że jest ona pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^{2} - 6 }\). Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu wiemy, że są one dzielnikami wyrazu wolnego, czyli w tym przypadku należą do zbioru \(\displaystyle{ \left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6 \right\} }\). Nie ma wśród nich \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\), więc jest to liczba niewymierna.
Poniewaz suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną, to również \(\displaystyle{ 5 - 2\sqrt{6} }\) jest liczbą niewymierną. Otrzymaliśmy więc sprzeczność z założeniem nr 1, co oznacza, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} - \sqrt{3} }\) jest liczbą niewymierną.
