Osłabienie postulatu bertranda

[Bran]

Wiemy, z postulatu Bertranda, że między dowolną liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 1}\) a jej dwukrotnością istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza.
Mnie zastanawia coś znacznie słabszego...

(1) Między dowolną liczbą naturalną \(\displaystyle{ n > 1}\) a \(\displaystyle{ n^n}\) istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza.

Chciałbym bez odwoływania się do postulatu Bertranda (oraz klasycznych mocniejszych twierdzeń jak PNT) dowieść (1). Tak jakbyśmy nie mieli tego całego zaplecza, to jakbyście się za to wzięli?

[a4karo]

WSK. `n!+1<n^n` .
Jak wyglądają dzielniki tej liczby z lewej strony?

[Bran]

Są większe od \(\displaystyle{ n,}\) więc albo sama jest liczbą pierwszą, albo zawiera w rozkładzie liczby pierwsze większe od \(\displaystyle{ n}\) i mniejsze od niej. Dziękuję i będę wdzięczny za każde kolejne rozwiązanie!