Pamiętam, że kiedyś było o czym takim:
Bran pisze: ↑5 lip 2021, o 17:24
\(\displaystyle{ \pi(xy) > \pi(x) \cdot \pi(y)}\)
Niech
\(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) będą takie, jak wyżej. Weźmy
\(\displaystyle{ \Delta\in \RR}\) taką jak powyżej. Jeśli
\(\displaystyle{ x,y>\Delta}\) to zachodzą nierówności
\(\displaystyle{ \alpha^2 \frac{xy}{\ln x\ln y} \le \pi(x)\pi(y) \le \beta^2 \frac{xy}{\ln x\ln y} \quad \quad \& \quad \quad \alpha \frac{xy}{\ln xy} \le \pi(xy) \le \beta \frac{xy}{\ln xy}.}\)
Pytanie zatem czy
\(\displaystyle{ \beta^2 \frac{xy}{\ln x\ln y} < \alpha \frac{xy}{\ln xy} }\)
co równoważnie oznacza, że
\(\displaystyle{ \frac{\ln x +\ln y}{\ln x\ln y} <\frac{\alpha}{\beta^2}. }\)
Widać, że nie powinno być problemów aby to zaszło. Iloczyn rośnie szybciej od sumy. Może na konkretnym przykładzie nawet warto to zrobić. Zauważmy, że
\(\displaystyle{ (\forall x \ge 30) \quad 0.92 \cdot \frac{x}{\ln x} \le \pi(x) \le 1.11 \cdot \frac{x}{\ln x} }\)
Zobacz pracę
A remark on an inequality for the prime countingfunction, Dietrich Burde strona 2. Czyli
\(\displaystyle{ \alpha =0.92, \beta =1.11}\) oraz
\(\displaystyle{ \Delta=30}\). Zatem pytanie, czy
\(\displaystyle{ \left( \forall x,y>30\right) \frac{\ln x +\ln y}{\ln x\ln y} <\frac{0.92}{1.11^2} }\)
Tak na oko funkcja
\(\displaystyle{ F(x,y)=\frac{\ln x +\ln y}{\ln x\ln y} }\)
przy ustalonym
\(\displaystyle{ y}\) maleje i jest symetryczna względem zmiennych więc pewnie
\(\displaystyle{ F(x,y) \le F(30,30)<0.92/1.11^2}\). Wygląda na to, że
\(\displaystyle{ \left( \forall x,y>30\right) \pi(xy) > \pi(x) \cdot \pi(y)}\)
choć pewnie wartość
\(\displaystyle{ 30}\) można jeszcze poprawić. Dodam, że Gerhard Paseman z math stack exchange pisał kiedyś o czymś podobnym możesz poszukać jego prac.
Bran pisze: ↑5 lip 2021, o 17:24
\(\displaystyle{ \pi(x) + \pi(y) > \pi(x+y)}\)
Ten problem ma swoją nazwę
Hardy-Littlewood (2) Conjectures. W książce
CRC CONCISE ENCYCLOPEDIA MATHEMATICS (II edition) na stronie 1300 (to jest encyklopedia więc są tam raczej odnośniki i niewiele wyjaśnień) znalazłem, że warto o tym poczytać w
CRC CONCISE ENCYCLOPEDIA MATHEMATICS pisze:References
- Richards, I. "On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes." Bull. Amer. Math. Soc. 80, 419-38, 1974.
- Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhauser, pp. 61/2 and 68-9, 1994.