Własność funkcji pi

[Bran]

Znalazłem takie oszacowanie na wikipedii:
Dla \(\displaystyle{ x \ge 55}\), zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{x}{\ln x - 4} > \pi(x) > \frac{x}{\ln x}}\)

Wywnioskowałem z niej taką własność funkcji \(\displaystyle{ \pi}\)
Dla \(\displaystyle{ x}\) naturalnego, większego od \(\displaystyle{ e^8}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ \pi(x^2) > \pi(x)^2.}\)

Oto dlaczego!

Ukryta treść:    

Z nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{x}{\ln x - 4} > \pi(x) > \frac{x}{\ln x}}\)

wynika, że:
\(\displaystyle{ \pi(x^2) > \frac{x^2}{\ln (x^2)}\\
\pi(x)^2 < \frac{x^2}{(\ln x - 4)^2}}\)

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\ln (x^2)} > \frac{x^2}{\ln x - 4)^2}}\)
Faktycznie, po podzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\) mamy:

\(\displaystyle{ ln (x^2) < \ln^2 x - 8 \ln x + 16}\)

\(\displaystyle{ 2 \ln x < \ln^2 x - 8 \ln x + 16}\)

Zastosujmy podstawienie:
\(\displaystyle{ t = \ln x}\)

Wówczas mamy nierówność kwadratową:
\(\displaystyle{ t^2 - 10t + 16 > 0}\)

\(\displaystyle{ (t-2)(t-8) > 0}\)

Ponieważ interesują nas wyłącznie wartości dodatnie, to nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ t > 8,}\) zatem \(\displaystyle{ \ln x > 8}\), czyli \(\displaystyle{ x > e^8.}\)

Co łatwo daje tezę:

\(\displaystyle{ \pi(x^2) > \pi(x)^2,}\)
gdzie \(\displaystyle{ x > e^8.}\)

Być może korzystam z armaty, żeby wykazać coś prostego, tego nie wiem i stąd pytanie:
Czy są znane jakieś inne własności funkcji \(\displaystyle{ \pi}\) tego typu?

Mówiąc o tym typie mam na myśli choćby coś ogólniejszego:

\(\displaystyle{ \pi(xy) > \pi(x) \cdot \pi(y)}\)

albo, że od pewnych \(\displaystyle{ x,y}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \pi(x) + \pi(y) > \pi(x+y)}\)

Drugie pytanie:
Skoro było to na tyle proste, że wpadłem na to ja i nie spotkałem podobnych oszacowań, to może po prostu nie są one dla matematyków ciekawe? Jeżeli tak, to dlaczego?

[Janusz Tracz]

Pamiętam, że kiedyś było o czym takim:

• Niech \(\displaystyle{ 0< \alpha <1< \beta }\). Istnieje \(\displaystyle{ \Delta\in \RR}\) taka, że
  
  \(\displaystyle{ (\forall x>\Delta) \quad \alpha \frac{x}{\ln x} \le \pi(x) \le \beta \frac{x}{\ln x}. }\)
  lemat 1 oraz lemat 2.

\(\displaystyle{ \pi(xy) > \pi(x) \cdot \pi(y)}\)

Niech \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) będą takie, jak wyżej. Weźmy \(\displaystyle{ \Delta\in \RR}\) taką jak powyżej. Jeśli \(\displaystyle{ x,y>\Delta}\) to zachodzą nierówności

\(\displaystyle{ \alpha^2 \frac{xy}{\ln x\ln y} \le \pi(x)\pi(y) \le \beta^2 \frac{xy}{\ln x\ln y} \quad \quad \& \quad \quad \alpha \frac{xy}{\ln xy} \le \pi(xy) \le \beta \frac{xy}{\ln xy}.}\)

Pytanie zatem czy

\(\displaystyle{ \beta^2 \frac{xy}{\ln x\ln y} < \alpha \frac{xy}{\ln xy} }\)

co równoważnie oznacza, że

\(\displaystyle{ \frac{\ln x +\ln y}{\ln x\ln y} <\frac{\alpha}{\beta^2}. }\)

Widać, że nie powinno być problemów aby to zaszło. Iloczyn rośnie szybciej od sumy. Może na konkretnym przykładzie nawet warto to zrobić. Zauważmy, że

\(\displaystyle{ (\forall x \ge 30) \quad 0.92 \cdot \frac{x}{\ln x} \le \pi(x) \le 1.11 \cdot \frac{x}{\ln x} }\)

Zobacz pracę A remark on an inequality for the prime countingfunction, Dietrich Burde strona 2. Czyli \(\displaystyle{ \alpha =0.92, \beta =1.11}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta=30}\). Zatem pytanie, czy

\(\displaystyle{ \left( \forall x,y>30\right) \frac{\ln x +\ln y}{\ln x\ln y} <\frac{0.92}{1.11^2} }\)

Tak na oko funkcja

\(\displaystyle{ F(x,y)=\frac{\ln x +\ln y}{\ln x\ln y} }\)

przy ustalonym \(\displaystyle{ y}\) maleje i jest symetryczna względem zmiennych więc pewnie \(\displaystyle{ F(x,y) \le F(30,30)<0.92/1.11^2}\). Wygląda na to, że

\(\displaystyle{ \left( \forall x,y>30\right) \pi(xy) > \pi(x) \cdot \pi(y)}\)

choć pewnie wartość \(\displaystyle{ 30}\) można jeszcze poprawić. Dodam, że Gerhard Paseman z math stack exchange pisał kiedyś o czymś podobnym możesz poszukać jego prac.

\(\displaystyle{ \pi(x) + \pi(y) > \pi(x+y)}\)

Ten problem ma swoją nazwę Hardy-Littlewood (2) Conjectures. W książce CRC CONCISE ENCYCLOPEDIA MATHEMATICS (II edition) na stronie 1300 (to jest encyklopedia więc są tam raczej odnośniki i niewiele wyjaśnień) znalazłem, że warto o tym poczytać w

References

• Richards, I. "On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes." Bull. Amer. Math. Soc. 80, 419-38, 1974.

• Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhauser, pp. 61/2 and 68-9, 1994.

[Brombal]

A gdybym postawił taką tezę?
\(\displaystyle{ \pi (n) ^{2}< \pi (n ^{2} )}\)

[Janusz Tracz]

To nie jest teza.

[Brombal]

Zabrakło hipo?

[Bran]

Wydaje mi się, że zabrakło założeń.
Co to jest \(\displaystyle{ n}\)? Czy musi spełniać jakieś warunki?

[Janusz Tracz]

@ Brombal Nie. Zabrakło objaśnień co jest czym oraz kwantyfikatorów. Sam napis

\(\displaystyle{ \pi (n) ^{2}< \pi (n ^{2} )}\)

nie jest ani prawdziwy ani fałszywy. Co więcej nie wiadomo czy mamy taki napis traktować jako coś do udowodnienia czy może mamy powiedzieć kiedy zachodzi taka nierówność zachodzi.

[Brombal]

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) oraz \(\displaystyle{ n>3}\)
\(\displaystyle{ \pi (n)^{2}< \pi (n^2)}\)
Edytowałem ale można inaczej
Dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) oraz \(\displaystyle{ n>1}\)
\(\displaystyle{ \pi (n)^{2} \le \pi (n^2)}\)

[Bran]

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) oraz \(\displaystyle{ n>1}\)
\(\displaystyle{ \pi (n)^{2}< \pi (n^2)}\)

Nie jest to prawda, dla \(\displaystyle{ n \in \left\{ 3,5,7\right\} }\)
powyżej \(\displaystyle{ 7}\) jest dla każdej liczby naturalnej, bo powyżej \(\displaystyle{ 30}\) wykazał Janusz Tracz, a do \(\displaystyle{ 30}\) sprawdziłem ręcznie.

[Brombal]

Bruździ ta siódemka
Czyli dla \(\displaystyle{ n>7}\)
Faktycznie - nie zauważyłem wykazania Janusza Tracza.

Dodano po 2 dniach 6 godzinach 33 minutach 53 sekundach:
Uświadomiłem sobie, że dziedziną funkcji \(\displaystyle{ \pi (x) }\) nie muszą być liczby naturalne a jedynie większe od \(\displaystyle{ 0}\).
Czy to może być prawdziwe
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{\pi (x ^{2k}) }{ {\pi (x)} ^{2k} } =k \log{x} }\)

[Janusz Tracz]

Czy to może być prawdziwe
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{\pi (x ^{2k}) }{ {\pi (x)} ^{2k} } =k \log{x} }\)

Nie może bo nie ma sensu. Czym jest \(\displaystyle{ x}\) po prawej stronie? Ogólnie dla \(\displaystyle{ k\in\NN_{ \ge 2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{\pi (x ^{k}) }{ {\pi^{k} (x)} }= \lim_{x\to \infty} \frac{ \frac{\pi (x ^{k})}{ x^k/\ln x^k } }{ \frac{\pi ^k(x)}{x^k/\ln^k x} } \cdot \frac{x^k/\ln x^k }{x^k/\ln^k x} = \lim_{x\to \infty} \frac{ \frac{\pi (x ^{k})}{ x^k/\ln x^k } }{ \frac{\pi ^k(x)}{x^k/\ln^k x} } \cdot \frac{\ln^k x}{\ln x^k} = \infty }\)