Nierówność z NWD
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Nierówność z NWD
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ d= NWD(a,b)}\) i \(\displaystyle{ d+1= NWD(a+1,b+1)}\) to \(\displaystyle{ d^2 < |a-b|}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Nierówność z NWD
Implikacja jest nieprawdziwa bez dodatkowego założenia \(\displaystyle{ a \neq b}\).
Z tym zaś założeniem widzimy, że \(\displaystyle{ d \mid a-b}\) oraz \(\displaystyle{ d+1 \mid (a+1)-(b+1) = a-b}\), a ponieważ \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ d+1}\) są względnie pierwsze, mamy w związku z tym \(\displaystyle{ d(d+1) \mid a-b}\). Stąd \(\displaystyle{ |a-b| \ge d(d+1) > d^2}\).
Z tym zaś założeniem widzimy, że \(\displaystyle{ d \mid a-b}\) oraz \(\displaystyle{ d+1 \mid (a+1)-(b+1) = a-b}\), a ponieważ \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ d+1}\) są względnie pierwsze, mamy w związku z tym \(\displaystyle{ d(d+1) \mid a-b}\). Stąd \(\displaystyle{ |a-b| \ge d(d+1) > d^2}\).