Nierówność z NWD

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Nierówność z NWD

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ d= NWD(a,b)}\) i \(\displaystyle{ d+1= NWD(a+1,b+1)}\) to \(\displaystyle{ d^2 < |a-b|}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Nierówność z NWD

Post autor: Dasio11 »

Implikacja jest nieprawdziwa bez dodatkowego założenia \(\displaystyle{ a \neq b}\).

Z tym zaś założeniem widzimy, że \(\displaystyle{ d \mid a-b}\) oraz \(\displaystyle{ d+1 \mid (a+1)-(b+1) = a-b}\), a ponieważ \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ d+1}\) są względnie pierwsze, mamy w związku z tym \(\displaystyle{ d(d+1) \mid a-b}\). Stąd \(\displaystyle{ |a-b| \ge d(d+1) > d^2}\).
ODPOWIEDZ