Problem w dowodzie 5

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Problem w dowodzie 5

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ d(n)}\)-liczba wszystkich dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) i niech:
\(\displaystyle{ D(N)= \sum_{n \le N}^{}d(n) }\).

W dowodzie twierdzenia Dirichleta występuje następująca równość:
\(\displaystyle{ D(N)=2 \sum_{1 \le x \le \sqrt{N},1 \le xy \le N }^{}1-\left[ \sqrt{N} \right]^2 }\)

Moje pytanie jest dlaczego to zachodzi? To ma chyba jakiś związek z hiperbolą \(\displaystyle{ xy=N}\), bo taki widzę rysunek przy tym dowodzie, ale nie wiem zbytnio o co tu chodzi. Proszę o jakieś wyjaśnienie.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Problem w dowodzie 5

Post autor: arek1357 »

Ja nie wiem czy to zachodzi lewa strona to liczba dodatnia a prawa to raczej ujemna więc nie widzę zachodzenia...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Problem w dowodzie 5

Post autor: a4karo »

Czemu ujemna?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Problem w dowodzie 5

Post autor: arek1357 »

bo dlatego , że wziąłem ten pierwiastek pod symbol sumy i wyszła ujemna...

Mógłbym np. tego nie zrobić i wyjdzie co inne


W takim razie trzeba zauważyć, że:

(1) \(\displaystyle{ \left[ \frac{x}{n} \right] -\left[ \sqrt{x} \right] }\) jest to ilość par całkowitych spełniających:

\(\displaystyle{ 1 \le n \le \left[ \sqrt{x} \right], \sqrt{x}<m \le \frac{x}{n} }\)

Obkładasz (1) sumą:


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] }\left( \left[ \frac{x}{n} \right]-\left[ \sqrt{x} \right] \right)= \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] } \left[ \frac{x}{n} \right]- \sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] }\left[ \sqrt{x} \right] =\sum_{n=1}^{\left[ \sqrt{x} \right] } \left[ \frac{x}{n} \right]-\left[ \sqrt{x} \right]^2 }\)

U ciebie może być:

\(\displaystyle{ K=x}\)

Dodano po 3 minutach 59 sekundach:
Oczywiście jak zamieniasz symetrycznie m i n to się to podwaja... stąd czynnik dwa na początku,

A w ogóle to badaj sobie sumy:

typu:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left[ \frac{x}{n} \right] }\)
ODPOWIEDZ