Szereg odwrotności liczb pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: max123321 »

W dowodzie tego, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{p} }\) jest rozbieżny, gdzie \(\displaystyle{ p}\) to liczby pierwsze, natknąłem się na taką linijkę:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{p}>> \sum_{}^{} \frac{1}{n\log n} }\)
No i to jeszcze rozumiem jak do tego dochodzili w tym dowodzie, ale później jest linijka:
\(\displaystyle{ \sum_{p \le x}^{} \frac{1}{p}>>\log \log x }\)
I tego już nie rozumiem, skąd jest ta ostatnia nierówność. Może mi to ktoś wytłumaczyć?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: a4karo »

W zasadzie już pierwsza nierówność wystarcza, bo szereg po prawej jest rozbieżny. (Np. kryterium rozrzedzające).
Drugą nierówność dostaniesz gdy zauważysz, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n}>\int_{n}^{n+1}\frac{1}{t\log t}dt=...}\)
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: max123321 »

A skąd jest ta nierówność z tą całką?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: Janusz Tracz »

Funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{t\ln t} }\) maleje.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: max123321 »

No maleje, ale co z tego wynika?
Możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n}>\frac{1}{(n+1)\log (n+1)} }\),
ale skąd ta całka?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34126
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: Jan Kraszewski »

Przypomnij sobie definicję całki oznaczonej. Może zrób rysunek.

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: max123321 »

Aha dobra chyba już kapuję. Te \(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n} \cdot 1 }\), to można traktować jako pole prostokąta o szerokości \(\displaystyle{ 1}\) i wysokości \(\displaystyle{ \frac{1}{n\log n} }\), a w tym prostokącie zawiera się pole między krzywą \(\displaystyle{ \frac{1}{t\log t} }\), a osią \(\displaystyle{ Ox}\), w przedziale od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ n+1}\), zgadza się? Bo w tej lewej stronie nierówności my bierzemy ten "większy" jakby prostokąt, a nie mniejszy, dlatego pewnie to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)\log (n+1)}> \int_{n}^{n+1} \frac{1}{t\log t} \dd t }\),
byłoby już pewnie fałszywe zgadza się?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Szereg odwrotności liczb pierwszych

Post autor: a4karo »

Zgadza się, ale żeby skompletować dowód musisz jeszcze policzyć te całki i przeprowadzić pewne proste rozumowanie
ODPOWIEDZ