Przeglądam dowód tego, że iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{p \le x}\left( 1- \frac{1}{p}\right)^{-1} }\) (\(\displaystyle{ p}\)-liczby pierwsze) przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty }\) jest rozbieżny. We fragmencie tego dowodu występuje taka nierówność:
\(\displaystyle{ \prod_{p \le x}\left( 1+ \frac{1}{p}+ \frac{1}{p^2}+...+ \frac{1}{p^m} \right) \ge \sum_{n \le x}^{} \frac{1}{n} }\), zaznaczone jest przy tym, że \(\displaystyle{ m}\) dobieramy tak, że \(\displaystyle{ 2^m \ge x}\)
Moje pytanie jest skąd się bierze i dlaczego zachodzi powyższa nierówność? To powinno być miarę oczywiste, bo w dowodzie nie ma słowa komentarza na ten temat, ale ja nie widzę. Proszę zatem o pomoc w wyjaśnieniu tego.
Problem z dowodem
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Problem z dowodem
Ostatnio zmieniony 19 cze 2021, o 18:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Problem z dowodem
Jak rozwiniesz lewa stronę, to dostaniesz wszystkie odwrotności liczb mniejszych od `x` (a raczej ich rozkłady na czynniki pierwsze) i jeszcze trochę
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Problem z dowodem
Ok, no faktycznie sprawdziłem dla \(\displaystyle{ x=10}\) i \(\displaystyle{ x=30}\) i rzeczywiście w mianownikach dostaje wszystkie rozkłady liczb mniejszych od \(\displaystyle{ x}\). Bo to, że dostanę wszystkie odwrotności liczb pierwszych \(\displaystyle{ \le x}\) to jest jasne. Ale skąd wiadomo, że dostanę wszystkie odwrotności liczb złożonych \(\displaystyle{ \le x}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)? Intuicyjnie to się niby zgadza, bo jest sporo tych możliwych wyborów przemnożeń, ale jak to jakoś uzasadnić? Nie wiem jak to zapisać.