Oszacowanie przez silnie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Oszacowanie przez silnie

Post autor: Bran »

Zastanawiam się nad oszacowaniem dowolnej liczby naturalnej przez silnie.

Dla zadanej liczby \(\displaystyle{ n}\) chcę znaleźć liczbę \(\displaystyle{ k}\), żeby:
\(\displaystyle{ k! \le n \le (k+1)!}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Oszacowanie przez silnie

Post autor: Janusz Tracz »

Przyda się więc odwzorowanie odwrotnie do silni. Bezpośrednio takiego nie znam. Ale silnie można zastąpić ogólnie funkcją gamma w taki sposób \(\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)!}\) zatem Twoja nierówność w kontekście \(\displaystyle{ \Gamma}\) to

\(\displaystyle{ \Gamma(k+1) \le n \le \Gamma(k+2)}\)

do \(\displaystyle{ \Gamma}\) też nie ma takiego jawnego odwzorowania odwrotnego ale powiedzmy, że jeśli przymkniemy na to oko i będziemy rozważać jedynie \(\displaystyle{ n>2}\) to można znaleźć odwzorowanie odwrotne obcięcia \(\displaystyle{ \Gamma\upharpoonright_{(2, \infty )}}\) zobacz

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+of+gamma%28x%29
. Wtedy

\(\displaystyle{ k+1\le (\Gamma\upharpoonright_{(2, \infty )})^{-1}(n) \le k+2.}\)

Można też spróbować asymptotycznych oszacowań na \(\displaystyle{ k}\). Wiadomo bowiem, że \(\displaystyle{ k! \approx {\bigg (}{\frac {k}{e}}{\bigg )}^{k}{\sqrt {2\pi k}}}\) więc jeśli szukamy liczby naturalnej która jest w pewnym sensie blisko \(\displaystyle{ k!}\) to szukamy takiego \(\displaystyle{ n}\), że
\(\displaystyle{ n\approx {\bigg (}{\frac {k}{e}}{\bigg )}^{k}{\sqrt {2\pi k}}}\)
z pomocą funkcji W Lamberta to może dać się odwrócić

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/430167/is-there-an-inverse-to-stirlings-approximation/461207
.


THE PRINCIPAL INVERSE OF THE GAMMA FUNCTION, MITSURU UCHIYAMA, Volume 140, Number 4, April 2012, Pages 1343–1348 S 0002-9939(2011)110232 Article electronically published on August 3, 2011, Corollary 6
https://www.ams.org/journals/proc/2012-140-04/S0002-9939-2011-11023-2/S0002-9939-2011-11023-2.pdf
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Oszacowanie przez silnie

Post autor: Bran »

Wolfram niestety nie wylicza wartości liczbowej funkcji odwrotnej do gammy, a asymptotyczne oszacowania wykorzystują w sobie liczbę \(\displaystyle{ k}\), której nie znamy. Więc niewiele nam to pomaga. Czegoś nie widzę?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Oszacowanie przez silnie

Post autor: Janusz Tracz »

Bran pisze: 7 cze 2021, o 15:17 Wolfram niestety nie wylicza wartości liczbowej funkcji odwrotnej do gammy
Wylicza

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+gamma%28x%29%3D1345
.
Bran pisze: 7 cze 2021, o 15:17 a asymptotyczne oszacowania wykorzystują w sobie liczbę \(\displaystyle{ k}\), której nie znamy. Więc niewiele nam to pomaga.
Napisałem, że asymptotyczne oszacowanie trzeba jeszcze rozwiązać. Chodziło mi o coś takiego jak robią w tej pracy:

Kod: Zaznacz cały

https://ir.lib.uwo.ca/cgi/viewcontent.cgi?article=7340&context=etd
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Oszacowanie przez silnie

Post autor: Brombal »

Jeżeli chodzi o praktyczne oszacowanie to może tak:
Z grubsza
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{k!} \approx 0,3705019335\cdot k+0,9137563259}\)
Inaczej
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{n} \approx 0,3705019335\cdot k+0,9137563259}\)
obliczamy \(\displaystyle{ k}\) i z głowy ;)
Ostatnio zmieniony 7 cze 2021, o 22:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
ODPOWIEDZ