Niech \(\displaystyle{ S(P)=S_E(P)=(p_1-E_{p_1},...,p_k-E_{p_k})}\), gdzie \(\displaystyle{ p_1<p_2<...<p_k \in \PP}\), będą liczbami pierwszymi (zwana sygnaturą krzywej \(\displaystyle{ E}\) jako odpowiednik sygnatury charakteru Dirichleta). Znaleźć sygnaturę krzywej \(\displaystyle{ E(x,y)=y^2-x^3-x-1}\) dla \(\displaystyle{ P=\left\{ 3,5,7\right\} }\). Oznaczenie \(\displaystyle{ E_{p_i}}\), oznacza moc zbioru rozwiązań równania \(\displaystyle{ E(x,y)=0 \mod p_i}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Najpierw sprawdzam równanie:
\(\displaystyle{ y^2-x^3-x-1=0 \mod 3}\) czyli
\(\displaystyle{ y^2=x^3+x+1\mod 3}\)
Po kolei \(\displaystyle{ x=0}\):
Wtedy \(\displaystyle{ y^2=1\mod 3}\) i rozwiązaniem tego jest:
\(\displaystyle{ y=1}\) lub \(\displaystyle{ y=2\mod 3}\)
Zatem z tego dostajemy parę \(\displaystyle{ (x,y)=(0,1) \vee (0,2)}\)
Następnie \(\displaystyle{ x=1}\) czyli:
\(\displaystyle{ y^2=0\mod 3}\) i z tego \(\displaystyle{ y=0\mod 3}\)
Czyli w sumie dostajemy \(\displaystyle{ 3}\) rozwiązania dla \(\displaystyle{ \mod 3}\): \(\displaystyle{ (0,1),(0,2),(1,0)}\)
To teraz dla \(\displaystyle{ \mod 5}\):
\(\displaystyle{ y^2=x^3+x+1\mod 5}\) i dla \(\displaystyle{ x=0}\):
\(\displaystyle{ y^2=1}\) czyli \(\displaystyle{ y=1 \vee y=4}\), czyli z tego mamy rozwiązania: \(\displaystyle{ (0,1),(0,4)}\)
Następnie \(\displaystyle{ x=1}\):
\(\displaystyle{ y^2=3\mod 5}\) i to nie ma rozwiązań.
\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ y^2=1}\) z tego są rozwiązania: \(\displaystyle{ y=1 \vee 4}\) czyli mamy \(\displaystyle{ (2,1),(2,4)}\)
\(\displaystyle{ x=3}\) to \(\displaystyle{ y^2=1}\) zatem mamy \(\displaystyle{ (3,1),(3,4)}\)
\(\displaystyle{ x=4}\) to \(\displaystyle{ y^2=4\mod 5}\) więc \(\displaystyle{ (4,2),(4,3)}\)
Zatem dla modułu \(\displaystyle{ 5}\) mamy \(\displaystyle{ 8}\) rozwiązań: \(\displaystyle{ (0,1),(0,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,2),(4,3)}\)
Pozostaje moduł \(\displaystyle{ 7}\):
\(\displaystyle{ x=0}\) to\(\displaystyle{ y^2=1\mod 7}\) czyli \(\displaystyle{ y=1 \vee y=6}\), więc \(\displaystyle{ (0,1),(0,6)}\)
\(\displaystyle{ x=1}\) to \(\displaystyle{ y^2=3\mod 7}\)-brak rozwiązań
\(\displaystyle{ x=2}\) to \(\displaystyle{ y^2=4\mod 7}\) z tego mamy \(\displaystyle{ (2,2),(2,5)}\)
\(\displaystyle{ x=3}\) to \(\displaystyle{ y^2=3\mod 7}\)-brak rozwiązań
\(\displaystyle{ x=4}\) to \(\displaystyle{ y^2=6\mod 7}\)-brak rozwiązań
\(\displaystyle{ x=5}\) to \(\displaystyle{ y^2=5\mod 7}\)-brak rozwiązań
\(\displaystyle{ x=6}\) to \(\displaystyle{ y^2=6\mod 7}\)-brak rozwiązań
Zatem dla modułu \(\displaystyle{ 7}\) są \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania: \(\displaystyle{ (0,1),(0,6),(2,2),(2,5)}\).
Ostatecznie sygnatura:
\(\displaystyle{ S_E(\left\{ 3,5,7\right\} )=(3-3,5-8,7-4)=(0,-3,3)}\)
Czy tak jest dobrze? Może można to było jakoś lepiej/szybciej zrobić? Proszę o jakiś komentarz.
Dodano po 6 godzinach 19 minutach 54 sekundach:
Czy nikt nie jest w stanie tego skomentować?