Pewna kongruencja

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Pewna kongruencja

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ @E_p}\) będzie liczbą rozwiązań równania \(\displaystyle{ E(x,y)=0 \mod p}\), gdzie \(\displaystyle{ E(x,y)=E_{a,b}(x,y)=y^2-x^3-ax-b}\) oraz \(\displaystyle{ a,b \in \FF_p}\). Wypisać wszystkie pary rozwiązań dla \(\displaystyle{ p=5, a=0, b=1}\) oraz \(\displaystyle{ b=-1}\).

To co tu należy zrobić? Ja to rozumiem tak, że po prostu podstawiam te liczby do tego równania i mam rozwiązać w liczbach całkowitych równanie:
\(\displaystyle{ y^2-x^3-1=0 \mod 5}\)

No dobra, no ale jest jakaś mądra metoda, które takie coś rozwiązuje? Z tego co mi się wydaje to chyba trzeba po prostu sprawdzić wszystkie możliwe kombinacje par \(\displaystyle{ (x,y)}\), gdzie zarówno \(\displaystyle{ x}\) jak i \(\displaystyle{ y}\) przebiega liczby od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 4}\).
No to zapisuje to równanie w postaci:
\(\displaystyle{ x^3=y^2-1 \mod 5}\) i zaczynam od \(\displaystyle{ y=0}\) wtedy mam \(\displaystyle{ x^3=-1=4 \mod 5}\) no i jest jedno rozwiązanie tego równania mianowicie \(\displaystyle{ x=4\mod 5}\). I dalej analogicznie sprawdzam \(\displaystyle{ y=1}\) i dostaję \(\displaystyle{ x=0}\). Liczę tak dalej i na końcu dostaje pary: \(\displaystyle{ (x,y)=(0,1) \vee (0,4) \vee (2,2) \vee (2,3) \vee (4,0)\mod 5}\). Nie wiem natomiast jak uzasadnić, że faktycznie trzeba sprawdzać tylko liczby od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 4}\), ale to pewnie jakoś wynika z własności równań modulo, zgadza się?

No dobra to czy tak jest dobrze? Czy jest jakaś mądrzejsza metoda? Proszę o jakiś komentarz.

Dodano po 22 godzinach 34 minutach 20 sekundach:
Czy nikt nie jest w stanie tego sprawdzić?
ODPOWIEDZ