Charakter multiplikatywny

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ X:F_p^* \rightarrow \CC}\) będzie multiplikatywne tj. \(\displaystyle{ X(ab)=X(a)X(b)}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest ciałem liczb zespolonych natomiast \(\displaystyle{ F_p^*}\) jest grupą jedności ciała \(\displaystyle{ p}\)-elementowego \(\displaystyle{ F_p}\). Niech \(\displaystyle{ a \in F_p^*}\). Pokazać, że zachodzą równości:

\(\displaystyle{ X(1)=1}\)
\(\displaystyle{ X(a^{-1})=X(\overline{a})}\),

gdzie \(\displaystyle{ \overline{x}}\) oznacza sprzężenie liczby \(\displaystyle{ x}\). Ponadto \(\displaystyle{ X(a)}\) jest pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ p-1}\) z jedności.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[Bran]

Pierwsza równość jest prosta i zachodzi dla dowolnej funkcji multiplikatywnej.
\(\displaystyle{ X(1) = X(1 \cdot 1) = X(1) \cdot X(1)}\)
gdzie druga równość zachodzi wprost z definicji funkcji multiplikatywnej. Teraz dzieląc obie strony przez \(\displaystyle{ X(1)}\) (możemy to zrobić, że funkcja multiplikatywna jest szczególnym przypadkiem funkcji arytmetycznej/ czasem w samej definicji mamy założenie, że \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\))
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 = X(1)}\)

[max123321]

Ok, nie wiedziałem, że dla funkcji multiplikatywnej zachodzi \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\), ale jak tak to ok.

No dobra, a jak udowodnić to, że \(\displaystyle{ X(a)}\) jest pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ p-1}\) z jedności?

[timon92]

należy dowieść, że \((X(a))^{p-1}=1\)

z multyplikatywności mamy \((X(a))^{p-1}=X(a^{p-1})\)

ale \(a^{p-1}=1\), więc...

[Bran]

z multyplikatywności mamy \((X(a))^{p-1}=X(a^{p-1})\)

To, że nie wiemy, czy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwsze nam nie przeszkadza?

[timon92]

z multyplikatywności mamy \((X(a))^{p-1}=X(a^{p-1})\)

To, że nie wiemy, czy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwsze nam nie przeszkadza?

zupełnie nie wiem co masz na myśli