Niech \(\displaystyle{ X:F_p^* \rightarrow \CC}\) będzie multiplikatywne tj. \(\displaystyle{ X(ab)=X(a)X(b)}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest ciałem liczb zespolonych natomiast \(\displaystyle{ F_p^*}\) jest grupą jedności ciała \(\displaystyle{ p}\)-elementowego \(\displaystyle{ F_p}\). Niech \(\displaystyle{ a \in F_p^*}\). Pokazać, że zachodzą równości:
\(\displaystyle{ X(1)=1}\)
\(\displaystyle{ X(a^{-1})=X(\overline{a})}\),
gdzie \(\displaystyle{ \overline{x}}\) oznacza sprzężenie liczby \(\displaystyle{ x}\). Ponadto \(\displaystyle{ X(a)}\) jest pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ p-1}\) z jedności.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Charakter multiplikatywny
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Charakter multiplikatywny
Pierwsza równość jest prosta i zachodzi dla dowolnej funkcji multiplikatywnej.
\(\displaystyle{ X(1) = X(1 \cdot 1) = X(1) \cdot X(1)}\)
gdzie druga równość zachodzi wprost z definicji funkcji multiplikatywnej. Teraz dzieląc obie strony przez \(\displaystyle{ X(1)}\) (możemy to zrobić, że funkcja multiplikatywna jest szczególnym przypadkiem funkcji arytmetycznej/ czasem w samej definicji mamy założenie, że \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\))
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 = X(1)}\)
\(\displaystyle{ X(1) = X(1 \cdot 1) = X(1) \cdot X(1)}\)
gdzie druga równość zachodzi wprost z definicji funkcji multiplikatywnej. Teraz dzieląc obie strony przez \(\displaystyle{ X(1)}\) (możemy to zrobić, że funkcja multiplikatywna jest szczególnym przypadkiem funkcji arytmetycznej/ czasem w samej definicji mamy założenie, że \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\))
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 = X(1)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Charakter multiplikatywny
Ok, nie wiedziałem, że dla funkcji multiplikatywnej zachodzi \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\), ale jak tak to ok.
No dobra, a jak udowodnić to, że \(\displaystyle{ X(a)}\) jest pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ p-1}\) z jedności?
No dobra, a jak udowodnić to, że \(\displaystyle{ X(a)}\) jest pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ p-1}\) z jedności?
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Charakter multiplikatywny
To, że nie wiemy, czy \(\displaystyle{ a}\) jest pierwsze nam nie przeszkadza?
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy