Strona 1 z 1

Rozbicie

: 12 maja 2021, o 12:12
autor: mol_ksiazkowy
Zbiór liczb całkowitych nieujemnych został rozdzielony na \(\displaystyle{ n}\) ciągów arytmetycznych nieskończonych o różnicach \(\displaystyle{ r_1,..., r_n}\) i pierwszych wyrazach \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a_1}{r_1}+...+ \frac{a_n}{r_n}= \frac{n-1}{2} }\).

Re: Rozbicie

: 13 maja 2021, o 16:13
autor: Bran
Wszystkie różnice są stale równe dowolnie ustalonemu \(\displaystyle{ n.}\)
Ponieważ są dodatnie, to pierwsze wyrazy ciągów, czyli \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) zawierają się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, \ldots, n-1 \right\}}\) (inaczej byśmy pominęli jedną z liczb tego zbioru).

A dalej korzystasz ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1,}\) mnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ n}\) i masz tezę.

Re: Rozbicie

: 13 maja 2021, o 16:17
autor: Dasio11
Bran pisze:
13 maja 2021, o 16:13
Wszystkie różnice są stale równe dowolnie ustalonemu \(\displaystyle{ n.}\)
Niekoniecznie.

Re: Rozbicie

: 14 maja 2021, o 06:48
autor: Bran
Dlaczego? Wiem, że to ja powinienem wykazać, ale jak masz jakiś kontrprzykład lub jakieś proste uzasadnienie, to poczekam, a jeżeli po prostu Cię nie przekonuje, to spróbuję to uzasadnić.

Re: Rozbicie

: 14 maja 2021, o 07:39
autor: a4karo
Pomyśl jak można ciąg arytmetyczny rozbić na 2012 ciągów arytmetycznych.

Re: Rozbicie

: 14 maja 2021, o 08:13
autor: Bran
Zależy od ciągu, jeżeli ma się zaczynać od zera, przechodzić przez wszystkie liczby całkowite nieujemne, to naprawdę długo (wczoraj) myślałem nad innym sposobem i nie mogłem wpaść (chyba, że w rozbiciu wyrazy mogą się powtarzać).

Re: Rozbicie

: 14 maja 2021, o 08:37
autor: mol_ksiazkowy
a może np.
\(\displaystyle{ 4k \\ 4k+1 \\ 4k+3 \\ 8k+2 \\ 8k+6 }\) ?

Re: Rozbicie

: 14 maja 2021, o 09:36
autor: Bran
No tak... W takim razie przepraszam.

Ale taki ciąg chyba nie spełnia równości, której żądasz, więc masz rozwiązane zadanie?