Matematyka.pl

Zbiór liczb całkowitych nieujemnych został rozdzielony na \(\displaystyle{ n}\) ciągów arytmetycznych nieskończonych o różnicach \(\displaystyle{ r_1,..., r_n}\) i pierwszych wyrazach \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a_1}{r_1}+...+ \frac{a_n}{r_n}= \frac{n-1}{2} }\).

Wszystkie różnice są stale równe dowolnie ustalonemu \(\displaystyle{ n.}\)
Ponieważ są dodatnie, to pierwsze wyrazy ciągów, czyli \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) zawierają się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, \ldots, n-1 \right\}}\) (inaczej byśmy pominęli jedną z liczb tego zbioru).

A dalej korzystasz ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1,}\) mnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ n}\) i masz tezę.

Bran pisze: ↑13 maja 2021, o 16:13Wszystkie różnice są stale równe dowolnie ustalonemu \(\displaystyle{ n.}\)

Niekoniecznie.

Dlaczego? Wiem, że to ja powinienem wykazać, ale jak masz jakiś kontrprzykład lub jakieś proste uzasadnienie, to poczekam, a jeżeli po prostu Cię nie przekonuje, to spróbuję to uzasadnić.

Pomyśl jak można ciąg arytmetyczny rozbić na 2012 ciągów arytmetycznych.

Zależy od ciągu, jeżeli ma się zaczynać od zera, przechodzić przez wszystkie liczby całkowite nieujemne, to naprawdę długo (wczoraj) myślałem nad innym sposobem i nie mogłem wpaść (chyba, że w rozbiciu wyrazy mogą się powtarzać).

a może np.
\(\displaystyle{ 4k \\ 4k+1 \\ 4k+3 \\ 8k+2 \\ 8k+6 }\) ?

No tak... W takim razie przepraszam.

Ale taki ciąg chyba nie spełnia równości, której żądasz, więc masz rozwiązane zadanie?