Rozbicie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Rozbicie

Post autor: mol_ksiazkowy » 12 maja 2021, o 12:12

Zbiór liczb całkowitych nieujemnych został rozdzielony na \(\displaystyle{ n}\) ciągów arytmetycznych nieskończonych o różnicach \(\displaystyle{ r_1,..., r_n}\) i pierwszych wyrazach \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a_1}{r_1}+...+ \frac{a_n}{r_n}= \frac{n-1}{2} }\).
Ostatnio zmieniony 12 maja 2021, o 16:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Rozbicie

Post autor: Bran » 13 maja 2021, o 16:13

Wszystkie różnice są stale równe dowolnie ustalonemu \(\displaystyle{ n.}\)
Ponieważ są dodatnie, to pierwsze wyrazy ciągów, czyli \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n}\) zawierają się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, \ldots, n-1 \right\}}\) (inaczej byśmy pominęli jedną z liczb tego zbioru).

A dalej korzystasz ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1,}\) mnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ n}\) i masz tezę.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9517
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2116 razy

Re: Rozbicie

Post autor: Dasio11 » 13 maja 2021, o 16:17

Bran pisze:
13 maja 2021, o 16:13
Wszystkie różnice są stale równe dowolnie ustalonemu \(\displaystyle{ n.}\)
Niekoniecznie.

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Rozbicie

Post autor: Bran » 14 maja 2021, o 06:48

Dlaczego? Wiem, że to ja powinienem wykazać, ale jak masz jakiś kontrprzykład lub jakieś proste uzasadnienie, to poczekam, a jeżeli po prostu Cię nie przekonuje, to spróbuję to uzasadnić.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Rozbicie

Post autor: a4karo » 14 maja 2021, o 07:39

Pomyśl jak można ciąg arytmetyczny rozbić na 2012 ciągów arytmetycznych.

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Rozbicie

Post autor: Bran » 14 maja 2021, o 08:13

Zależy od ciągu, jeżeli ma się zaczynać od zera, przechodzić przez wszystkie liczby całkowite nieujemne, to naprawdę długo (wczoraj) myślałem nad innym sposobem i nie mogłem wpaść (chyba, że w rozbiciu wyrazy mogą się powtarzać).

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Rozbicie

Post autor: mol_ksiazkowy » 14 maja 2021, o 08:37

a może np.
\(\displaystyle{ 4k \\ 4k+1 \\ 4k+3 \\ 8k+2 \\ 8k+6 }\) ?

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Rozbicie

Post autor: Bran » 14 maja 2021, o 09:36

No tak... W takim razie przepraszam.

Ale taki ciąg chyba nie spełnia równości, której żądasz, więc masz rozwiązane zadanie?

ODPOWIEDZ