Ułamek łańcuchowy pierwiastka

[Bran]

Wyznaczyć ułamek łańcuchowy \(\displaystyle{ \sqrt{20}}\).

Wiem jaki jest wynik, ale niestety nie umiem do niego dojść. Znalazłem algorytm, ale niestety ten przykład nie spełnia jego założeń. Jest może jakiś ogólny algorytm, który pozwoli wyznaczyć dowolny pierwiastek kwadratowy?

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \sqrt{20} = 1+ \frac{19}{\sqrt{20} +1 } =1+\frac{19}{ 1+ \frac{19}{\sqrt{20} +1 } +1 } }\) itd. ..?!

[Bran]

W licznikach muszą być jedynki, ale już znalazłem algorytm, dziękuję.

[Elayne]

\(\displaystyle{ \sqrt{20} = \sqrt{4^2 + 2^2} \ / ()^2 \\
(\sqrt{20})^2 = 4^2 + 2^2 \ / -4^2 \\
(\sqrt{20})^2 - 4^2 = 4 \\
(\sqrt{20} - 4)(\sqrt{20} + 4) = 4 \ / \div (\sqrt{20} + 4) \\
\sqrt{20} - 4 = \frac{4}{\sqrt{20} + 4} \\
\sqrt{20} = 4 + \frac{4}{\sqrt{20} + 4} \\
\sqrt{20} = 4 + \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{5}}{2}} \\
\sqrt{20} = 4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{20} + 4}} \\
\sqrt{20} = 4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{(4 + \frac{4}{\sqrt{20} + 4}) + 4}} \\
\sqrt{20} = 4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{8 + \frac{4}{\sqrt{20} + 4}}} }\)

[Bran]

Dziękuję, czy mógłbyś mi jeszcze powiedzieć skąd to przejście:

\(\displaystyle{ \sqrt{20} = 4 + \frac{4}{\sqrt{20} + 4} \\
\sqrt{20} = 4 + \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\)

?

[AiDi]

\(\displaystyle{ \sqrt{20}+4=2\sqrt{5}+4=4\left(\frac{\sqrt{5}}{2}+1\right)}\)