Równanie całkowitoliczbowe; trzy zmienne
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Równanie całkowitoliczbowe; trzy zmienne
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z+1}+ \frac{z}{x} = \frac{5}{2} }\).
Ostatnio zmieniony 22 kwie 2021, o 09:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równanie całkowitoliczbowe; trzy zmienne
Długo leżało...
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z+1} + \frac{z}{x} = \frac{5}{2} }\)
Najpierw podstawmy sobie:
\(\displaystyle{ t=z+1}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t-1}{x} = \frac{5}{2} }\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t}{x} = \frac{5}{2}+ \frac{1}{x} }\)
Załóżmy, że wszystkie są parami względnie pierwsze czyli.: \(\displaystyle{ (x,y)=(x,t)=(y,t)=1 \wedge x,y,t \neq 0}\)
Teraz wszystko skracam i sprowadzam do parteru:
(*) \(\displaystyle{ 2yt^2-5xyt-2yt+2x^2t+2xy^2=0}\)
Więc musi być tak wnioski:
\(\displaystyle{ 2|5xyt }\)
\(\displaystyle{ x|2yt^2-2yt=2yt(t-1)}\)
\(\displaystyle{ y|2x^2t}\)
\(\displaystyle{ t|2xy^2}\)
Z pierwszego warunku będzie pierwszy przypadek, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste:
I. \(\displaystyle{ x=2^sr}\)
I dlatego, że wszystkie pary są względnie pierwsze i żadna inna zmienna już nie może być parzysta otrzymamy:
\(\displaystyle{ y= \pm 1=i, t= \pm 1=j}\)
Podstawmy to wszystko do (*) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2i-(5 \cdot 2^sr+2)ij+2 \cdot 2^{2s}r^2j+2^{s+1}r=0}\)
lub:
(**) \(\displaystyle{ i-5 \cdot 2^{s-1}rij-ij+2^{2s}r^2j+2^sr=0}\)
\(\displaystyle{ 1^o}\)
\(\displaystyle{ i=1, j=1}\)
z (**) otrzymamy:
\(\displaystyle{ -5 \cdot 2^{s-1}+2^{2s}r+2^s=0}\) - oczywiście brak całkowitych rozwiązań...
\(\displaystyle{ 2^o}\)
\(\displaystyle{ i=1, j=-1}\)
z (**) otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2+5 \cdot 2^{s-1}-2^{2s}+2^s=0}\)
\(\displaystyle{ r|2, r}\) - nieparzysty więc \(\displaystyle{ r= \pm 1}\)
a). \(\displaystyle{ r=1 }\)
niech: \(\displaystyle{ 2^s=k}\)
otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ 2k^2-7k-4=0}\)
jedynym całkowitym rozwiązaniem jest:\(\displaystyle{ k=4, s=2,r=1, x=2^sr=4,y=1,t=-1}\)
b). \(\displaystyle{ r=-1}\)
\(\displaystyle{ 2k^2+7k-4=0}\) - brak rozwiązań
\(\displaystyle{ 3^o}\)
\(\displaystyle{ i=-1, j=1}\)
z (**) otrzymamy po skróceniu:
\(\displaystyle{ 7+2^{s+1}r=0 }\) - brak rozwiązań
\(\displaystyle{ 4^o}\)
\(\displaystyle{ i=-1, j=-1}\)
z (**) otrzymamy po skróceniu:
\(\displaystyle{ 4+5 \cdot 2^sr+2 \cdot 2^{2s}r^2-2^{s+1}r=0}\)
wynika z tego, że.: \(\displaystyle{ r= \pm 1}\)
a). \(\displaystyle{ r=1, 2^s=k}\)
mamy:
\(\displaystyle{ 2k^2+3k+4=0}\) - brak rozwiązania
b). \(\displaystyle{ r=-1, 2^s=k}\)
mamy:
\(\displaystyle{ 2k^2-3k+4=0}\) - brak rozwiązania
I to był przypadek najdłuższy...
II. niech \(\displaystyle{ y}\) - parzysty
czyli: \(\displaystyle{ y=2^sr}\)
łatwo zaobserwować z warunków, że musi być: \(\displaystyle{ r= \pm 1, s=1, t= \pm 1}\)
Będzie więc:
\(\displaystyle{ y= \pm 2, t= \pm 1}\)
\(\displaystyle{ 1^o}\)
\(\displaystyle{ y=2, t=1}\)
Co po podstawieniu do:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x+ \frac{2}{1} + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)
czyli mamy:
\(\displaystyle{ x=1}\)
Co da ostatecznie:
\(\displaystyle{ x=1, y=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\)
\(\displaystyle{ y=2, t=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2-9x-4=0}\) - brak rozwiązania...
\(\displaystyle{ 3^o}\)
\(\displaystyle{ y=-2, t=1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x-2+ \frac{1}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)
co nam daje:
\(\displaystyle{ x=-9}\)
więc mamy kolejne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, t=1}\)
\(\displaystyle{ 4^o}\)
\(\displaystyle{ y=-2, t=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2+x+4=0}\) - brak rozwiązania...
I ostatni przypadek:
III. \(\displaystyle{ t}\) - parzysty
Z tych samych względów co wyżej mamy mieć:
\(\displaystyle{ 1^o}\)
\(\displaystyle{ t=2, y=1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2} + \frac{2}{x} = \frac{5}{2}+ \frac{1}{x} }\)
lub:
\(\displaystyle{ x^2-2x+1=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ x=1 }\)
mamy więc:
\(\displaystyle{ x=1, y=1, t=2}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\)
\(\displaystyle{ t=2, y=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2+3x-1=0}\) - brak rozwiązania
\(\displaystyle{ 3^o}\)
\(\displaystyle{ t=-2, y=1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2-3x-3=0}\) - brak rozwiązania
\(\displaystyle{ 4^o}\)
\(\displaystyle{ t=-2, y=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2+2x+3=0}\) - brak rozwiązania
Wypiszmy teraz wszystkie rozwiązania:
\(\displaystyle{ x=4, y=1, t=-1}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=1, t=2}\)
biorąc pod uwagę, że: \(\displaystyle{ t=z+1, z=t-1}\) otrzymamy ostateczne trójki rozwiązań:
\(\displaystyle{ x=4, y=1, z=-2}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=2, z=0}\)
\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, z=0}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=1, z=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z+1} + \frac{z}{x} = \frac{5}{2} }\)
Najpierw podstawmy sobie:
\(\displaystyle{ t=z+1}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t-1}{x} = \frac{5}{2} }\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t}{x} = \frac{5}{2}+ \frac{1}{x} }\)
Załóżmy, że wszystkie są parami względnie pierwsze czyli.: \(\displaystyle{ (x,y)=(x,t)=(y,t)=1 \wedge x,y,t \neq 0}\)
Teraz wszystko skracam i sprowadzam do parteru:
(*) \(\displaystyle{ 2yt^2-5xyt-2yt+2x^2t+2xy^2=0}\)
Więc musi być tak wnioski:
\(\displaystyle{ 2|5xyt }\)
\(\displaystyle{ x|2yt^2-2yt=2yt(t-1)}\)
\(\displaystyle{ y|2x^2t}\)
\(\displaystyle{ t|2xy^2}\)
Z pierwszego warunku będzie pierwszy przypadek, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste:
I. \(\displaystyle{ x=2^sr}\)
I dlatego, że wszystkie pary są względnie pierwsze i żadna inna zmienna już nie może być parzysta otrzymamy:
\(\displaystyle{ y= \pm 1=i, t= \pm 1=j}\)
Podstawmy to wszystko do (*) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2i-(5 \cdot 2^sr+2)ij+2 \cdot 2^{2s}r^2j+2^{s+1}r=0}\)
lub:
(**) \(\displaystyle{ i-5 \cdot 2^{s-1}rij-ij+2^{2s}r^2j+2^sr=0}\)
\(\displaystyle{ 1^o}\)
\(\displaystyle{ i=1, j=1}\)
z (**) otrzymamy:
\(\displaystyle{ -5 \cdot 2^{s-1}+2^{2s}r+2^s=0}\) - oczywiście brak całkowitych rozwiązań...
\(\displaystyle{ 2^o}\)
\(\displaystyle{ i=1, j=-1}\)
z (**) otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2+5 \cdot 2^{s-1}-2^{2s}+2^s=0}\)
\(\displaystyle{ r|2, r}\) - nieparzysty więc \(\displaystyle{ r= \pm 1}\)
a). \(\displaystyle{ r=1 }\)
niech: \(\displaystyle{ 2^s=k}\)
otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ 2k^2-7k-4=0}\)
jedynym całkowitym rozwiązaniem jest:\(\displaystyle{ k=4, s=2,r=1, x=2^sr=4,y=1,t=-1}\)
b). \(\displaystyle{ r=-1}\)
\(\displaystyle{ 2k^2+7k-4=0}\) - brak rozwiązań
\(\displaystyle{ 3^o}\)
\(\displaystyle{ i=-1, j=1}\)
z (**) otrzymamy po skróceniu:
\(\displaystyle{ 7+2^{s+1}r=0 }\) - brak rozwiązań
\(\displaystyle{ 4^o}\)
\(\displaystyle{ i=-1, j=-1}\)
z (**) otrzymamy po skróceniu:
\(\displaystyle{ 4+5 \cdot 2^sr+2 \cdot 2^{2s}r^2-2^{s+1}r=0}\)
wynika z tego, że.: \(\displaystyle{ r= \pm 1}\)
a). \(\displaystyle{ r=1, 2^s=k}\)
mamy:
\(\displaystyle{ 2k^2+3k+4=0}\) - brak rozwiązania
b). \(\displaystyle{ r=-1, 2^s=k}\)
mamy:
\(\displaystyle{ 2k^2-3k+4=0}\) - brak rozwiązania
I to był przypadek najdłuższy...
II. niech \(\displaystyle{ y}\) - parzysty
czyli: \(\displaystyle{ y=2^sr}\)
łatwo zaobserwować z warunków, że musi być: \(\displaystyle{ r= \pm 1, s=1, t= \pm 1}\)
Będzie więc:
\(\displaystyle{ y= \pm 2, t= \pm 1}\)
\(\displaystyle{ 1^o}\)
\(\displaystyle{ y=2, t=1}\)
Co po podstawieniu do:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x+ \frac{2}{1} + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)
czyli mamy:
\(\displaystyle{ x=1}\)
Co da ostatecznie:
\(\displaystyle{ x=1, y=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\)
\(\displaystyle{ y=2, t=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2-9x-4=0}\) - brak rozwiązania...
\(\displaystyle{ 3^o}\)
\(\displaystyle{ y=-2, t=1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x-2+ \frac{1}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)
co nam daje:
\(\displaystyle{ x=-9}\)
więc mamy kolejne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, t=1}\)
\(\displaystyle{ 4^o}\)
\(\displaystyle{ y=-2, t=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2+x+4=0}\) - brak rozwiązania...
I ostatni przypadek:
III. \(\displaystyle{ t}\) - parzysty
Z tych samych względów co wyżej mamy mieć:
\(\displaystyle{ 1^o}\)
\(\displaystyle{ t=2, y=1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2} + \frac{2}{x} = \frac{5}{2}+ \frac{1}{x} }\)
lub:
\(\displaystyle{ x^2-2x+1=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ x=1 }\)
mamy więc:
\(\displaystyle{ x=1, y=1, t=2}\)
\(\displaystyle{ 2^o}\)
\(\displaystyle{ t=2, y=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2+3x-1=0}\) - brak rozwiązania
\(\displaystyle{ 3^o}\)
\(\displaystyle{ t=-2, y=1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2-3x-3=0}\) - brak rozwiązania
\(\displaystyle{ 4^o}\)
\(\displaystyle{ t=-2, y=-1}\)
to podstawienie prowadzi do równania:
\(\displaystyle{ x^2+2x+3=0}\) - brak rozwiązania
Wypiszmy teraz wszystkie rozwiązania:
\(\displaystyle{ x=4, y=1, t=-1}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=1, t=2}\)
biorąc pod uwagę, że: \(\displaystyle{ t=z+1, z=t-1}\) otrzymamy ostateczne trójki rozwiązań:
\(\displaystyle{ x=4, y=1, z=-2}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=2, z=0}\)
\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, z=0}\)
\(\displaystyle{ x=1, y=1, z=1}\)