Równanie całkowitoliczbowe; trzy zmienne

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Równanie całkowitoliczbowe; trzy zmienne

Post autor: mol_ksiazkowy »

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z+1}+ \frac{z}{x} = \frac{5}{2} }\).
Ostatnio zmieniony 22 kwie 2021, o 09:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Równanie całkowitoliczbowe; trzy zmienne

Post autor: arek1357 »

Długo leżało...

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z+1} + \frac{z}{x} = \frac{5}{2} }\)

Najpierw podstawmy sobie:

\(\displaystyle{ t=z+1}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t-1}{x} = \frac{5}{2} }\)

lub:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t}{x} = \frac{5}{2}+ \frac{1}{x} }\)

Załóżmy, że wszystkie są parami względnie pierwsze czyli.: \(\displaystyle{ (x,y)=(x,t)=(y,t)=1 \wedge x,y,t \neq 0}\)

Teraz wszystko skracam i sprowadzam do parteru:

(*) \(\displaystyle{ 2yt^2-5xyt-2yt+2x^2t+2xy^2=0}\)

Więc musi być tak wnioski:

\(\displaystyle{ 2|5xyt }\)

\(\displaystyle{ x|2yt^2-2yt=2yt(t-1)}\)

\(\displaystyle{ y|2x^2t}\)

\(\displaystyle{ t|2xy^2}\)

Z pierwszego warunku będzie pierwszy przypadek, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste:

I. \(\displaystyle{ x=2^sr}\)

I dlatego, że wszystkie pary są względnie pierwsze i żadna inna zmienna już nie może być parzysta otrzymamy:

\(\displaystyle{ y= \pm 1=i, t= \pm 1=j}\)

Podstawmy to wszystko do (*) i otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2i-(5 \cdot 2^sr+2)ij+2 \cdot 2^{2s}r^2j+2^{s+1}r=0}\)

lub:

(**) \(\displaystyle{ i-5 \cdot 2^{s-1}rij-ij+2^{2s}r^2j+2^sr=0}\)

\(\displaystyle{ 1^o}\)

\(\displaystyle{ i=1, j=1}\)

z (**) otrzymamy:

\(\displaystyle{ -5 \cdot 2^{s-1}+2^{2s}r+2^s=0}\) - oczywiście brak całkowitych rozwiązań...

\(\displaystyle{ 2^o}\)

\(\displaystyle{ i=1, j=-1}\)

z (**) otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2+5 \cdot 2^{s-1}-2^{2s}+2^s=0}\)

\(\displaystyle{ r|2, r}\) - nieparzysty więc \(\displaystyle{ r= \pm 1}\)

a). \(\displaystyle{ r=1 }\)

niech: \(\displaystyle{ 2^s=k}\)

otrzymamy równanie:

\(\displaystyle{ 2k^2-7k-4=0}\)

jedynym całkowitym rozwiązaniem jest:\(\displaystyle{ k=4, s=2,r=1, x=2^sr=4,y=1,t=-1}\)

b). \(\displaystyle{ r=-1}\)

\(\displaystyle{ 2k^2+7k-4=0}\) - brak rozwiązań

\(\displaystyle{ 3^o}\)

\(\displaystyle{ i=-1, j=1}\)

z (**) otrzymamy po skróceniu:

\(\displaystyle{ 7+2^{s+1}r=0 }\) - brak rozwiązań

\(\displaystyle{ 4^o}\)

\(\displaystyle{ i=-1, j=-1}\)

z (**) otrzymamy po skróceniu:

\(\displaystyle{ 4+5 \cdot 2^sr+2 \cdot 2^{2s}r^2-2^{s+1}r=0}\)

wynika z tego, że.: \(\displaystyle{ r= \pm 1}\)

a). \(\displaystyle{ r=1, 2^s=k}\)

mamy:

\(\displaystyle{ 2k^2+3k+4=0}\) - brak rozwiązania


b). \(\displaystyle{ r=-1, 2^s=k}\)

mamy:

\(\displaystyle{ 2k^2-3k+4=0}\) - brak rozwiązania

I to był przypadek najdłuższy...

II. niech \(\displaystyle{ y}\) - parzysty

czyli: \(\displaystyle{ y=2^sr}\)

łatwo zaobserwować z warunków, że musi być: \(\displaystyle{ r= \pm 1, s=1, t= \pm 1}\)

Będzie więc:

\(\displaystyle{ y= \pm 2, t= \pm 1}\)


\(\displaystyle{ 1^o}\)

\(\displaystyle{ y=2, t=1}\)

Co po podstawieniu do:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{t} + \frac{t}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x+ \frac{2}{1} + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)

czyli mamy:

\(\displaystyle{ x=1}\)

Co da ostatecznie:

\(\displaystyle{ x=1, y=2, t=1}\)


\(\displaystyle{ 2^o}\)

\(\displaystyle{ y=2, t=-1}\)

to podstawienie prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ x^2-9x-4=0}\) - brak rozwiązania...


\(\displaystyle{ 3^o}\)

\(\displaystyle{ y=-2, t=1}\)

to podstawienie prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x-2+ \frac{1}{x} = \frac{5}{2} + \frac{1}{x} }\)

co nam daje:

\(\displaystyle{ x=-9}\)

więc mamy kolejne rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, t=1}\)


\(\displaystyle{ 4^o}\)

\(\displaystyle{ y=-2, t=-1}\)

to podstawienie prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ x^2+x+4=0}\) - brak rozwiązania...

I ostatni przypadek:

III. \(\displaystyle{ t}\) - parzysty

Z tych samych względów co wyżej mamy mieć:

\(\displaystyle{ 1^o}\)

\(\displaystyle{ t=2, y=1}\)

to podstawienie prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2} + \frac{2}{x} = \frac{5}{2}+ \frac{1}{x} }\)

lub:

\(\displaystyle{ x^2-2x+1=0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\)

\(\displaystyle{ x=1 }\)

mamy więc:

\(\displaystyle{ x=1, y=1, t=2}\)


\(\displaystyle{ 2^o}\)

\(\displaystyle{ t=2, y=-1}\)

to podstawienie prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ x^2+3x-1=0}\) - brak rozwiązania


\(\displaystyle{ 3^o}\)

\(\displaystyle{ t=-2, y=1}\)

to podstawienie prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ x^2-3x-3=0}\) - brak rozwiązania


\(\displaystyle{ 4^o}\)

\(\displaystyle{ t=-2, y=-1}\)

to podstawienie prowadzi do równania:

\(\displaystyle{ x^2+2x+3=0}\) - brak rozwiązania

Wypiszmy teraz wszystkie rozwiązania:

\(\displaystyle{ x=4, y=1, t=-1}\)

\(\displaystyle{ x=1, y=2, t=1}\)

\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, t=1}\)

\(\displaystyle{ x=1, y=1, t=2}\)

biorąc pod uwagę, że: \(\displaystyle{ t=z+1, z=t-1}\) otrzymamy ostateczne trójki rozwiązań:

\(\displaystyle{ x=4, y=1, z=-2}\)

\(\displaystyle{ x=1, y=2, z=0}\)

\(\displaystyle{ x=-9, y=-2, z=0}\)

\(\displaystyle{ x=1, y=1, z=1}\)
ODPOWIEDZ